第三章-微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題解答(編輯修改稿)
2025-04-21 06:50 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 時(shí)，,所以函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)增加； 當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)減少．（２）．解：，當(dāng)，或時(shí)，,所以函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)減少．（３）解： ，故函數(shù)在單調(diào)增加．3． 證明下列不等式（１）證明： 對(duì)任意實(shí)數(shù)和, 成立不等式．證明：令，則， 在內(nèi)單調(diào)增加.于是, 由 , 就有 , 即 （２）當(dāng)時(shí), ．證明：設(shè)， ，由于當(dāng)時(shí)，, 因此在單調(diào)遞增, 當(dāng) 時(shí), , 故在單調(diào)遞增, 當(dāng) 時(shí), , 因此．（３）當(dāng) 時(shí)，．證明：設(shè), ，當(dāng)，所以在單調(diào)遞增, 當(dāng) 時(shí), , 故在單調(diào)遞增, 從而當(dāng) 時(shí), 有. 因此當(dāng) 時(shí)，．4． 討論方程(其中為常數(shù))在內(nèi)有幾個(gè)實(shí)根．解：設(shè) 則在連續(xù), 且， 由，得為內(nèi)的唯一駐點(diǎn)．在上單調(diào)減少，在上單調(diào)增加． 故為極小值，因此在的最大值是,最小值是． （１） 當(dāng)或時(shí),方程在內(nèi)無(wú)實(shí)根； （２） 當(dāng)時(shí),有兩個(gè)實(shí)根； （３） 當(dāng)時(shí)，有唯一實(shí)根．5． 試確定曲線中的a、b、c、d，使得處曲線有水平切線，為拐點(diǎn)，且點(diǎn)在曲線上．解： ,，所以解得： ．6．求下列函數(shù)圖形的拐點(diǎn)及凹或凸的區(qū)間（１） 解： , ,令,得，當(dāng)時(shí)不存在．當(dāng)或時(shí), ,當(dāng)或時(shí), ．故曲線在上是凸的, 在區(qū)間和上是凹的，曲線的拐點(diǎn)為． ?。ǎ玻┕拯c(diǎn)及凹或凸的區(qū)間解： ，．當(dāng)時(shí)，不存在；當(dāng)時(shí)，． 故曲線在上是凸的, 在上是凹的，是曲線的拐點(diǎn), 7．利用凹凸性證明: 當(dāng)時(shí), 證明：令, 則, ．當(dāng)時(shí), , 故函數(shù)的圖形在上是凸的, 從而曲線在線段（其中）的上方，又, 因此,即．167。 函數(shù)的極值與最大值最小值1． 填空題（１）函數(shù)取極小值的點(diǎn)是．（２） 函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為 ．2．選擇題（１） 設(shè)在內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，問(wèn)還要滿足以下哪個(gè)條件，則必是的最大值？（ C ）A． 是的唯一駐點(diǎn) B． 是的極大值點(diǎn)C． 在內(nèi)恒為負(fù) D． 不為零（２） 已知對(duì)任意滿足，若，則（ B?。〢. 為的極大值 B. 為的極小值C. 為拐點(diǎn) D. 不是極值點(diǎn), 不是拐點(diǎn)（３）若在至少二階可導(dǎo), 且,則函數(shù)在處( Ａ )A． 取得極大值 B
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