【文章內(nèi)容簡介】 xm????微分方程組的解為 ???????)s i n ()s i n (2211????tXxtXx???????????0)(0)(2222212121212111XmkXkXkXmk??有非零解，其系數(shù)行列式必須為零 0222221122111 ?????mkkkmk 0)(2121122211222211122 ??????????? ??mmkkkkmkmk ??2121122211222211122211122121mmkkkkmkmkmkmk ?????????????????? ?????????? ???對于一般的多自由度體系 ??????????????????????0)(0)(0)(22211222222121121212111nnnnnnnnnnXmkXkXkXkXmkXkXkXkXmk???????????寫成矩陣形式 0}]){[]([ 2 ?? XmK ?? ? ? ? ? ??????????????????????????????????????????nnnnnnn XXXxkkkkkkkkkkmmmm?????????21321222211121121,00頻率方程 0|][][| 2 ?? mK ?振型方程 頻率方程 主振型 對于 對于 1?2?12112111112 k kmXX ?? ?12112211222 k kmXX ?? ?質(zhì)點的位移為 ???????)s in ()s in (111212111111 ?? ?? tXx tXx???????)s in ()s in (222222222121 ?? ?? tXx tXx振動過程中兩質(zhì)點的位移比值為 12112111112 k kmxx ?? ?12112211222 k kmxx ?? ?由此可見，這一比值不僅與時間無關(guān)，而且為常數(shù)。也就是說，在結(jié)構(gòu)振動過程 中的任意時刻，這兩個質(zhì)點的位移比值始終保持不變。這種振動形式通常稱為主 振型。當(dāng)體系按 振動時稱為第一振型或基本振型，按 振動時稱為第二振型 。因主振型只取決于質(zhì)點位移之間的相對值，所以通常將其中某一個質(zhì)點的位移 值定為 1。一般，體系有多少個自由度就有多少個頻率，相應(yīng)就有多少個主振型， 它們是體系的固有屬性。 1? 2?第 1階模態(tài)位移云圖 第 2階模態(tài)位移云圖 第 3階模態(tài)位移云圖 第 4階模態(tài)位移云圖 在一般的初始條件下，體系得振動曲線將包含全部振型。這可由自由振動方程 （ 379）的通解看出，該方程的特解見式（ 388） ,其通解為這些特解的線性 組合，即： )s i n ()s i n ( 222211122 ???? ???? tXtXx)s i n ()s i n ( 222111111 ???? ???? tXtXx在一般初始條件下，任一質(zhì)點的振動都是由各主振型的簡諧振動疊加而成的復(fù)合 振動，它不在時簡諧振動，而且質(zhì)點之間位移的比值也不再是常數(shù)，其值將隨時 間而發(fā)生變化。 主振型的正交性 根據(jù)功的互等定理，即第一狀態(tài)的力在第二狀態(tài)的位移上所作的功，等于第二狀態(tài) 的力在第一狀態(tài)的位移上所作的功，得： 1222222112122122122122111211 XXmXXmXXmXXm ???? ???? ? 022122211112221 ??? XXmXXm）（ ?? ? ? 02212221111 ?? XXmXXm 對于兩個以上的多自由度體系，任意兩個振型 j和 k之間也都有著上述的正交性， 它們可以表示為 0222111 ???? knjnnkjkj XXmXXmXXm ? 01???nikijii XXm用矩陣表達(dá) ? ? ? ?? ? 0X ?kTj Xm? ? ? ? ? ? ? ????????????????????????????????knkkknjnjjTjXXXXmmmmXXX??? 21212100X表示多自由度體系任意兩個振型對質(zhì)量矩陣的正交性，事實上，多自由度任意兩個 振型對剛度矩陣也有正交性 0}]){[]([ 2 ?? XmK ?等式兩邊各前乘 kkk XmXk }]{[}]{[ 2??TjX}{kTjkkTj XmXXkX }]{[}{}]{[}{ 2??? ? ? ?? ? 0?kTj XkX? ? ? ?? ? 0X ?kTj Xm例 33:計算圖 （ a）所示二層框架結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型，并驗算其主振型的 正交性。各層質(zhì)量為 。第一層側(cè)向剛度為 ，第一 層側(cè)向剛度為 tmtm 50,60 21 ?? mkNk /105 41 ??mkNk /103 42 ??解，求框架各層的層間剛度系數(shù)： K N / m103K N / m103K N / m108422242211242111?????????????kkkkkkkk由式（ 382），可得頻率方程為 050103103 10360108 244424????? ???? ??解上式得 sr a dsr a d /。/ 21 ?? ??由式（ 389）可得振型為 第一振型 第二振型 4 8 1103 0 7604412112111112 ??? ?????? k kmXX ? 1103 6 2 560 4412112211222 ???? ?????? k kmXX ?驗算主振型的正交 對質(zhì)量矩陣 對剛度矩陣 ? ? ? ? ? ? 06014 8 mX 2T1 ??????? ?????????????? T? ? ? ? ? ? 3814 8 kX 42T1 ??????? ??????? ? ????????? T例題 34 三層剪切型結(jié)構(gòu)如圖所示， 求該結(jié)構(gòu)的自振圓頻率和振型 解：該結(jié)構(gòu)為 3自由度體系， 質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為 kg10100002][ 3????????????Mm/N10][ 6????????????????K先由特征值方程求自振圓頻率，令 600B2??得 0B11002B25|][][| 2 ???????? MK ?或 23 ???由上式可解得 ? ? ?從而由 B600?? 得 ra d / ?? ra d / ?? rad / ??由自振周期與自振頻率的關(guān)系 ?? /2T ? ，可得結(jié)構(gòu)的各階自振 ? 2 ? 3 ?周期分別為 ? ? ? ????????????????? 8 96 0 006 0 4 8 41 2 0 001 2 0 5 7 9)( 21 MK ?? ? 11 11 }{][ ?? ?? ?? ninini BA?由 得 ?????????????????????????????? ?6 4 3 0 6 0 00 4 8 41 2 0 01 2 0 5 7 9 11211??代入 ? ? 0}{1T 1 ???? inini CB ? 校核 ]600,0[ ?????????則第一階振型為 ? ????????????11?同樣可求得第二階和第三階振型為 ? ??????????????12? ? ?????????????13?為求第一階振型，將 rad/ ?? 代入 將各階振型用圖形表示 : 1 1 10. 6010. 6762. 572. 47第一階振型 第二階振型 第三階振型 振型具有如下特征 : 對于串聯(lián)多質(zhì)點多自由度體系，其第幾階振型，在振型圖 上就有幾個節(jié)點（振型曲線與體系平衡位置的交點 ) 利用振型圖的這一特征，可以定性判別所得振型正確與否 振型分解法 在一般的初始條件下，體系的振型曲線將包含全部振型，如兩自由度體系。 )s i n ()s i n ( 222111111 ???? ???? tXtXx)s i n ()s i n ( 222211122 ???? ???? tXtXx如果用體系的振型作為基底，而用另一個函數(shù) q(t)作為坐標(biāo)，就可以把聯(lián)立方程 組變成幾個獨立的方程，每個方程只包含一個未知項。這樣可以分別獨立求解， 從而使計算簡化。這一方法稱為振型分解法，它是求解多自由度體系地震反應(yīng)的 重要方法。 ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?0xmxkxcxm ????? ????)()()(2)( 02 txtxtxtx ????? ???? ??? 為簡便起見，先考慮兩自由度體系，如圖 。將質(zhì)點 m1和 m2在地震作用 下任一時刻的位移 x1(t)和 x2(t)用其兩個振型線性組合來表示，即 ???????22212122121111)()()()()()(XtqXtqtxXtqXtqtx這里用新坐標(biāo) q1(t),q2(t)代替原有的兩個 幾何坐標(biāo) x1(t)、 x2(t)。只要 q1(t),q2(t) 確定， x1(t)、 x2(t)也就可以確定，而 q1(t),q2(t)實際上代表質(zhì)點任一時刻的變位 中第一振型與第二振型所占的分量。由于 x1(t)、 x2(t)為時間的函數(shù)，所以 q1(t), q2(t)也為時間函數(shù)，一般稱為 廣義坐標(biāo) 。 當(dāng)為多自由度體系時，上式可寫成： ??? njjiji Xtqtx1)()(也可以寫成下屬矩陣的形式 ? ? ? ?? ?qXx ?]}{}{}{}[{][ 21 nj XXXXX ???? ????????????????????nixxxxx??21???????????????nnjnnnnjnjXXXXXXXXXXXXX????????????21222212112111][? ????????????????????niqqqqq??21體系的位移可以看成是由各振型乘以 相應(yīng)的組合系數(shù)疊加而成，即將位移 按振型加以分解，故稱為振型分解法 q為時間函數(shù) ＊ 阻尼矩陣的處理 振型關(guān)于下列矩陣正交： 剛度矩陣 阻尼矩陣 振型分解法的前提： 質(zhì)量矩陣 無條件滿足 采用瑞雷阻尼矩陣 ? ? ? ? ? ?kmc21 ?? ??? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?0xmxkxcxm ????? ????令 ? ? ? ? ? ?kmc 21 ?? ??可得 ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?021 xmqXkqXkmqXm ????? ????? ??兩邊各項乘以 ??TjX? ? ? ?? ?? ? ?