微分中值定理的推廣及應(yīng)用論文精選-(滇池學(xué)院貢獻(xiàn))(編輯修改稿)
2025-08-20 01:51 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 朗日中值定理 定理3 如果函數(shù)滿足(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)。(2) 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。則至少存在一點(diǎn)使等式.證法 利用羅爾中值定理.證明（方法一） 引進(jìn)輔助函數(shù),顯然,在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo),且,由羅爾定理可知,存在一點(diǎn) 使得 即.證明（方法二）（利用分析法證明拉格朗日中值定理）要證存在使得 成立，即證,存在使得 (1) (2)記,則由滿足羅爾定理的條件知,存在使得(2)成立,進(jìn)而(1). 柯西中值定理 定理4 設(shè)函數(shù)、滿足:(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)。(2) 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且，則至少存在一點(diǎn)使得.證明（方法一） 由定理?xiàng)l件可知,則任意都有,因此,只需證 ,為此,構(gòu)造函數(shù),顯然,在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,根據(jù)羅爾定理,存在,使得,即, 所以. 泰勒中值定理定理5 若函數(shù)在內(nèi)存在階導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在以與為端點(diǎn)的閉區(qū)間連續(xù)，在其開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)，且，則與之間至少存在一點(diǎn)，使 其中.證明 的泰勒多項(xiàng)式.我們記,則 .可以看出函數(shù)與在閉區(qū)間連續(xù)，在其開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)，且可以看出.應(yīng)用柯西中值定理有：與之間至少存在一點(diǎn)，使 ,其中.4微分中值定理的推廣 微分中值定理是微分學(xué)的核心內(nèi)容,而隨著其不斷地發(fā)展和完善,. 羅爾定理中值的推廣 定理5 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo),且,其中,則存在使得.證明 由于在內(nèi)可導(dǎo),則必有在上連續(xù),又有. (1)當(dāng)時(shí),對(duì)在兩點(diǎn)進(jìn)行連續(xù)延拓,使得,則有在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)且有,所以,滿足羅爾定理的條件,存在使得.(2)當(dāng)時(shí),由于,故存在,使得,所以在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),滿足羅爾定理,即存在使得.綜上所述,存在使得. 定理6(推廣一) 設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),則存在使得.證明 作輔助函數(shù),很明顯在連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,則根據(jù)羅爾定理有,存在使得,命題得證.定理7(推廣二) 若在有限開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且與存在,則至少存在一點(diǎn)使得.證明 （1）當(dāng)時(shí),由定理5可知,結(jié)論成立.（2）當(dāng)時(shí),作輔助函數(shù),由在內(nèi)可導(dǎo)知,在內(nèi)也可導(dǎo),又因?yàn)椤?根據(jù)定理5可知,即.綜上所述,存在一點(diǎn)使得. (洛必達(dá)法則一) 若函數(shù)f(x)與滿足下列條件：1) 在a的某去心領(lǐng)域可導(dǎo)，且；2) 與；3) .則. 證法 (x)與在a滿足柯西中值定理的條件，將函數(shù)f(x)，因?yàn)橛懻摵瘮?shù)在a的極限與函數(shù)f(x)與在a的函數(shù)值無(wú)關(guān).證明 將函數(shù)f(x)與在a作連續(xù)延拓，即設(shè) .在以x與a為端點(diǎn)的區(qū)間
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