微分中值定理證明與應(yīng)用分析-資料下載頁(yè)
2025-06-29 13:13本頁(yè)面
【正文】 來(lái)看下不等式，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，等式兩邊就相等了，所以接下來(lái)排除，分兩步討論。在觀察不等式兩邊的代數(shù)式，不難看出左邊的代數(shù)式比較復(fù)雜，則是否可以把左邊的代數(shù)式構(gòu)造輔助函數(shù)，是題目可以運(yùn)用中值定理解題呢？不妨設(shè)。利用Cauchy定理即可證明。證明：當(dāng)時(shí)結(jié)論顯然成立，當(dāng)時(shí)，取或，在該區(qū)間設(shè)，由柯西定理得： 或即當(dāng)時(shí)，即又故，即當(dāng)時(shí)，則故，即由此，不等式得證。 討論根的存在性在證明根的存在性問(wèn)題時(shí)，當(dāng)遇到滿足微分中值定理的相關(guān)條件時(shí)，就能夠從中值定理的角度來(lái)解決問(wèn)題。因此我們可以說(shuō)，微分中值定理可以應(yīng)用在解決根的存在性的問(wèn)題上。我們從下面的例題來(lái)看中值定理在這方面的應(yīng)用。例1：設(shè)為任意個(gè)實(shí)數(shù),證明函數(shù): 在必有零點(diǎn). 證法 利用羅爾定理,令,只需在上滿足羅爾定理?xiàng)l件. 證明 作輔助函數(shù) ,則 容易驗(yàn)證在上連續(xù),在可導(dǎo),且 ,所以存在使得 ,即.所以,在必存在零點(diǎn).例2： 設(shè)且滿足,證明方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.證明： 引進(jìn)輔助函數(shù),顯然,又是多項(xiàng)式函數(shù)在上連續(xù),在可導(dǎo),滿足羅爾中值定理的條件,故存在使而故方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.注：本題構(gòu)造的依據(jù)是使得導(dǎo)數(shù)恰好是所證方程的左邊.6 總結(jié)本文是研究主要是通過(guò)在大學(xué)階段對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)方面的知識(shí)的分析和學(xué)習(xí)得到的，并參考了一些圖書資料。從整個(gè)世界來(lái)看，人們對(duì)中值定理的研究從微積分的建立之時(shí)就開始了，至今有關(guān)微分中值定理問(wèn)題的研究非?；钴S,且已有豐富的成果。本文通過(guò)與老師同學(xué)的討論，介紹了微分中值定理的主要證明方法和在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用分析，分析了費(fèi)馬引理、羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的證明方法；在應(yīng)用方面主要通過(guò)例題的形式討論研究了中值定理在證明等式、不等式、恒等式以及在討論方程根的存在性等方面的應(yīng)用。深入研究微分中值定理,有助于加深對(duì)這些定理的理解。清楚這些定理的證明,能促使我們掌握微分中值定理的具體應(yīng)用。 致謝完成本論文，我要特別感謝我的指導(dǎo)老師魏老師的熱懷和指導(dǎo)。在我撰寫論文的過(guò)程中，魏老師傾注了大量的心血和汗水，無(wú)論是在論文的選題、構(gòu)思和資料的收集方面，還是在論文的研究方法以及成文定稿方面，我都得到了魏老師教誨和幫助在此表示真誠(chéng)地感謝和深深的謝意。 最后，向在百忙中抽出時(shí)間對(duì)本文進(jìn)行評(píng)審并提出寶貴意見的各位專家表示感謝！參考文獻(xiàn)[1] [J].消費(fèi)導(dǎo)刊時(shí)空教育 . 2009(02) 166[2] 朱美玉。微分中值定理的進(jìn)一步探討[J].(08) 158159.[3] 邢建平。 徐湘云. 微分中值定理的解題應(yīng)用[J].中小企業(yè)管理與科技(上旬刊). 2010(08)158[4] 鄧樂(lè)斌編. 數(shù)學(xué)分析的理論、方法與技巧[M]. 武漢:華中科技出版社,2005.[5] [J].雁北師范學(xué)院學(xué)報(bào),2005,2：59~61.[6] [J].廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010,1:283110
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