數學分析第六章微分中值定理及其應用(編輯修改稿)
2025-07-04 19:25 本頁面
【文章內容簡介】 e型余項. 并稱帶有這種形式余項的Taylor公式為具Lagrange型余項的Taylor公式. Lagrange型余項還可寫為 . 時, 稱上述Taylor公式為Maclaurin公式, 此時余項常寫為 . 2. 誤差的定性描述( 局部性質 ) —— Peano型余項: Th 2 若函數在點的某鄰域內具有階導數,且存在,則,. 證 設 , . 應用 Hospital法則 次,并注意到 存在, 就有 = . 稱 為Taylor公式的Peano型余項, 相應的Maclaurin公式的Peano型余項為 . 并稱帶有這種形式余項的Taylor公式為具Peano型余項的Taylor公式( 或Maclaurin公式 ). 四. 函數的Taylor公式( 或Maclaurin公式 )展開: 1. 直接展開: 例2 求 的Maclaurin公式.解 . 例3 求 的Maclaurin公式.解 , .例4 求函數 的具Peano型余項的Maclaurin公式 . 解 . .例5 把函數 展開成含 項的具Peano型余項的Maclaurin公式 . ( [1]P179 E5, 留為閱讀. ) :利用已知的展開式,施行代數運算或變量代換,求新的展開式. 例6 把函數 展開成含 項的具Peano型余項的Maclaurin公式 . 解 , . 例7 把函數展開成含項的具Peano型余項的Maclaurin公式 . 解 , 注意, . 例8 先把函數 展開成具Peano型余項的Maclaurin公式 . 利用得到的展開式, 把函數 在點 展開成具Peano型余項的Taylor公式.解 . = + 例9 把函數 展開成具Peano型余項的Maclaurin公式 ，并與 的相應展開式進行比較. 解 。 .而 . : 1. 證明 是無理數: 例10 證明 是無理數.證 把 展開成具Lagrange型余項的Maclaurin公式, 有 .反設 是有理數, 即 和 為整數), 就有 整數 + .對 也是整數. 于是, 整數 = 整數―整數 = ，不可能是整數. 矛盾.2.計算函數的近似值: 例11 求 精確到 的近似值.解 .注意到 有. 為使 ,只要取 . 現取 , 即得數 的精確到 的近似值為 . : 原理: 例12 求極限 .解 , 。 .： 原理. 例13 證明: 時, 有不等式 . [3]P130 E33. 167。4 函數的極值與最大（小）值 （2學時）教學目的：會求函數的極值和最值。教學要求：1. 會求函數的極值與最值；2. 弄清函數極值的概念，取得極值必要條件以及第一、第二充分條件；掌握求函數極值的一般方法和步驟；能靈活運用第一、第二充分條件判定函數的極值與最值；會利用函數的極值確定函數的最值，對于取得極值的第三充分條件，也應用基本的了解。教學重點：利用導數求極值的方法教學難點：極值的判定教學方法： 講授法＋演示例題 一．可微函數單調性判別法： 1．單調性判法
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