【文章內容簡介】 k=1,2,?,n),考慮將第 k行上 、 下的第 k列元素都進行消元計算化為零 ， 且 akk化為 1. 1. 按列選主元素 ， 即確定 ik使 .m a x, iknikki aa k ??? 2. 換行 (當 ik≠k時 )， 交換第 k行與第 ik行元素 jikj kaa ,?kik bb ?(j=k,k+1,?,n), 3. 計算乘數 mik=aik/akk (i=1,2,?,n, i≠k) mkk=1/akk . (mik可保存在存放 aik的單元中 ). 4. 消元計算 aij← aij+mikakj (i=1,2,?,n,且 i≠k,j=k+1,?,n) bi← bi+mikbk (i=1,2,?,n,且 i≠k) akj← akjmkk (j=k,k+1,?,n)， bk← bkmkk . 上述過程結束后 ， 即當 k=n時有 顯然 xi=bi,i=1,2,?,n 就是 Ax=b的解 . ? ? ? ? .111||21)()(????????????????nnnbbbbAbA?? 說明用高斯 若當消去法雖比高斯消去法略復雜些 ， 但將 A約化為單位矩陣 ， 計算解就在常數項位置得到 ， 因此用不著回代求解 ， 故也稱為 無回代的高斯消元法 . 它的計算量大約需要 n3/2次乘除法 ， 要比高斯消去法大 ， 但用高斯 若當消去法 求一個矩陣的逆矩陣 還是比較合適的 . 定理 9(高斯 若當法求逆矩陣 ) 設 A為非奇異矩陣，方程組 AX=In的增廣矩陣為 C=(A|In)，如果對 C應用高斯 若當方法化為 (In|T) ，則 A1=T. 事實上 , 求 A的逆矩陣 A1, 即求 n階矩陣 X使 AX=In, 其中 In為單位矩陣，將 X按列分塊 X=(x1,x2,?,xn)， I=(e1,e2,?,en)， 于是求解 AX=In等價于求解 n個方程組 Axj=ej (j=1,2,?,n). 我們可用高斯 若當方法求解 AX=In. 例 4 用高斯 若當方法求下列矩陣的逆矩陣 . .121322011?????????????A 解 由分塊矩陣 ?????????????? ??????????????? ?10000101012101132210001000112132201121 rrC???????????????? ??100100302011212121252323第一次消元??????????????? ?? ?01100020301121212123252332 rr?????????????????? ????????????????? ??416315314100010001100001001326131613131616532第三次消元第二次消元.4163153141?????????????????A所以得 小節(jié) 比較而言 ,Gauss順序消去法條件苛刻 ,且數值不穩(wěn)定 。 Gauss全主元消去法工作量偏大，需要比較 個元素及行列交換工作，算法復雜；對于 GaussJordan消去法形式上比其他消元法簡單，且無回代求解，但計算量大 ,比 Gauss順序消去法多 計算量。因此從算法優(yōu)化的角度考慮， Gauss列主元消去法比較好。 ??nkk22)61( 3nO 矩陣的三角分解法 我們知道對矩陣進行一次初等變換，就相當于用相應的初等矩陣去左乘原來的矩陣。因此我們這個觀點來考察 Gauss消元法用矩陣乘法來表示，即可得到求解線性方程組的另一種直接法：矩陣的三角分解。 Gauss消元法的矩陣形式 為上三角陣為單位下三角陣，其中分解U1............111...)...(1213231211112121111221LLUUllllllULLLLULLLLALUnnnnnnnn???????????????????????????????分解。行直接進否對矩陣因此，關鍵問題在于能程：就等價于解兩個三角方由此解線性方程組LUAyUxbLyULAbxbx????????)( Doolittle分解 1131313111311121212111211111232322131211323121333231232221131211)3,2,1(11113,ualluaualluajauuakuuuuuulllaaaaaaaaanULjjjj?????????????????????????????????????????得由；得由時：為例的各元素，以此分解在于如何算出)(322332133133333323321331332212313232233212313213212323231321231221222222122122ululauuululakuulalululaulauuulaulauuulak????????????????????得時：由得由；得由；得時：Doolittle分解 ? 若矩陣 A有分解： A=LU，其中 L為單位下三角陣， U為上三角陣，則稱該分解為Doolittle分解，可以證明，當 A的各階順序主子式均不為零時， Doolittle分解可以實現并且唯一。 ? A的各階順序主子式均不為零，即 ),...2,1(0...............1111nkaaaaAkkkkk???Doolittle分解 各元素方法逐行逐列求解用比較等式兩邊元素的令ULuuuuuulllaaaaaaaaannnnnnnnn,......1...11.........222112112121n2n1n2222112111??????????????????????????????????????????????Doolittle分解 。得再由；得由時：。得再由；得由時), . . . ,4,3(), . . . ,3,2(12), . . . ,3,2(),...2,1(1:12212122222121212222121211111111i1111niuulalululanjulauuulakniualluanjauuakiiiiiijijjjjjiiijjjj????????????????????Doolittle分解 (看看就可 ) ??????????????????????????????????????1111211211, . . .1,00]0...10...[, . . .,kttjktkjkjktkjtjktjjjjkkkkkjknkkkknkkjulauuuluuulllakjuuuk）（有步時：計算第??Doolittle分解 ????????????????????????????????????11111111,...1/)(00]0...0,1,...,[,...,ktkktkitikikktkkiktkitkkkikiiknkkknkiuulalululuullakill）（得，于是由由于計算??Doolittle分解 ?????????????????????????????????nnnnnnkkkttkitikikkttjktkjkjulluuluuunkuulalnkinkjulau.........A, . . . ,2,1/)(), . . . ,1。, . . . ,(2122221112111111????的各位各元素在計算機內存于即Doolittle分解 。可獲解得及再由TniinijjijiiijjijiixxxnniuxuyxniylbyULxyxby), . . . ,(1, . . .1,/)(, . . . ,2,12