[理學(xué)]數(shù)值分析第六章-資料下載頁
2025-02-19 00:22本頁面
【正文】 )1(2)(2)(323)(12122)1(21)(1)(313)(21211)1(1nknnnknnnknknnkkkknnkkkbxaxaaxbxaxaxaaxbxaxaxaax???? 于是，解 Ax=b的雅可比迭代法的計(jì)算公式為 )().,1,0(),2,1(,/)(,),(1)()1()0()0(1)0(??????????????????表示迭代次數(shù)???kniaxabxxxxiinijjkjijikiTn 由 ()式可知，雅可比迭代法計(jì)算公式簡單，每迭代一次只需計(jì)算一次矩陣和向量的乘法且計(jì)算過程中原始矩陣 A始終不變 . 高斯－賽德爾迭代法 在 Jacobi 迭代中，計(jì)算 xi(k+1)(2? i ?n)時 ， 使用xj(k+1)代替 xj(k) (1? j ? i1)， 即有 ????????????????????????????????????)(1)(1)(1)1(11)1(11)1(2)(2)(323)1(12122)1(21)(1)(313)(21211)1(1nknnnknnnknknnkkkknnkkkbxaxaaxbxaxaxaaxbxaxaxaax????建 立 迭 代 格 式 或縮寫為 稱為 高斯 — 塞德爾 (Gauss — Seidel)迭代法 . ).,2,1()(11)(11)1()1( nibxaxaax inijkjijijkjijiiki ?????? ????????)(),1,0()()()1()0(??????? ?kfBxxxkk，初始向量解 Ax=b的 高斯 — 塞德爾迭代法的計(jì)算公式為 )().,1,0(),2,1(,/)(),(),(1)(11)1()1()0()0(1)0(?????????????????????表示迭代次數(shù)初始向量???kniaxaxabxxxxiinijkjijijkjijikiTn或 )().,1,0(),2,1(,/)(,),()(11)1()()1()0()0(1)0(?????????????????????????????kniaxaxabxxxxxxxiinijkjijijkjijiiikikiTn 雅可比迭代法 不使用變量的最新信息計(jì)算 xi(k+1)，而由 高斯 — 塞德爾迭代公式 ()可知，計(jì)算 x(k+1)的第 i個分量 xi(k+1)時，利用了已經(jīng)計(jì)算出的最新分量xj(k+1) (j=1,2,?,i1). 可看作 雅可比迭代法 的一種改進(jìn) . 由 ()可知， 高斯 — 塞德爾迭代公式 每迭代一次只需計(jì)算一次矩陣與向量的乘法 . 例 2 用 高斯 — 塞德爾迭代法 解例 1的方程組 (). ).,2,1,0(.12/)3636(,11/)433(,8/)2320()1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1??????????????????????kxxxxxxxxxkkkkkkkkk 解 用 高斯 — 塞德爾迭代公式： 取 x(0)=(0, 0, 0)T. 迭代到第 7次有 。),()7( Tx ?. 4)7()7( ???? ???? xx? 由此例可知，用 高斯 — 塞德爾迭代法 ， 雅可比迭代法 解線性方程組 ()(且取 x(0)=0)均收斂，而 高斯 — 塞德爾迭代法 比 雅可比迭代法 收斂較快 (即取相同的 x(0)，達(dá)到同樣精度所需迭代次數(shù)較少 )，但這結(jié)論只當(dāng) A滿足一定條件時才是對的 . 例 1 用雅可比迭代法解方程組 ????????????????321321321xxxxxxxxx?????????????????????)(51)(101)(101)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx.????????????x解確精 解： Jacobi 迭代格式為 k x1(k) x2(k) x3(k) 1 2 … … … … 11 12 ?????????????????????)(51)(101)(101)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx取 x(0)=(0,0,0)T 計(jì)算 結(jié)果 如下： 解： GaussSeidel 迭代格式為 ????????????????????????)(51)(101)(101)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx 例 2 用 Gauss— Seidel 迭代法解上題 . ????????????????321321321xxxxxxxxx取 x(0)=(0,0,0)T 計(jì)算 結(jié)果 如下： k x1(k) x2(k) x3(k) 1 … … … … 8 ????????????????????????)(51)(101)(101)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx??????????????????????????????????????????????????????05251101010210110201015352111021210J a c b i3321JGxxx解：因?yàn)榈仃嚍榈ń饩€性方程組試用例T)11(T)0()(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1321321),(11)0,0,0(,...1,02??????????????????????????????????????????????????????????????xxkxxxxxxxxxxxxxxxkkkkkkkkk次有迭代到第取其迭代格式原方程改寫為迭代法收斂速度快。顯然，次得，迭代到第取初值由解：法求線性方程組用例SGxxxxxxxxxxxkkkkkkkkk????????????????????????T)6(T)0()1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1),(6)0,0,0(S e i d e lG a u s s4Jacobi迭代法的算法 慢。算法的缺點(diǎn)：收斂速度。返回、停機(jī)；輸出、如果、計(jì)算、輸入初始向量、輸入3), . . . ,2,1(5), . . . ,2,1(||m a x4)。, . . . ,2,1(/)(3)。, . . . ,2,1(2。), . . . ,2,1(), . . . ,2,1,(11,1niyxniyxyniaxabynixnibnjiaiiiiiniiinijjjijiiiiij??????????????????GaussSeidel迭代法的算法 。停機(jī)；否則返回輸出、如果；做、對、輸入初始向量、輸入3),...,2,1(|}{|m a x4。)3。)2/)()1,...,2,13)。,...,2,1(2。),...,2,1(),...,2,1,(11,1nixeyxxyeaxbyninixnibnjiaiiniiiiiiiinijjiiiiiij??????????????????
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