數(shù)學(xué)分析第六章微分中值定理及其應(yīng)用-預(yù)覽頁
【正文】 1]P174.( 留作閱讀 ) 1. 誤差的定量刻畫( 整體性質(zhì) ) —— Taylor中值定理: ⅱ . 證 [1]P175—176. 稱 為Taylor公式的Peano型余項, 相應(yīng)的Maclaurin公式的Peano型余項為 . 并稱帶有這種形式余項的Taylor公式為具Peano型余項的Taylor公式( 或Maclaurin公式 ). 四. 函數(shù)的Taylor公式( 或Maclaurin公式 )展開: 1. 直接展開: 例2 求 的Maclaurin公式.解 . 例3 求 的Maclaurin公式.解 , .例4 ( [1]P179 E5, 留為閱讀. ) 解 , 例9 把函數(shù) 展開成具Peano型余項的Maclaurin公式 ，并與 的相應(yīng)展開式進行比較. 解 。4 函數(shù)的極值與最大（小）值 （2學(xué)時） Th 1 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo). 則在 內(nèi) ↗(或↘) 在 內(nèi) ( 或 ).證 ) ) 證 . Th 2 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo). 則在 內(nèi) ↗↗( 或↘↘) ⅰ 對 有 ( 或 。 :極值問題:極值點,極大值還是極小值,極值是多少.1. ⅲ 若 在上述兩個區(qū)間內(nèi)同號, 則 不是極值點.Th 5 (充分條件Ⅱ——“雨水法則”)設(shè)點 為函數(shù) 的駐點且 ⅰ 當 時, 為 的一個極大值點。對應(yīng)極大. 例2 求函數(shù) 的極值. [1]P190 E3 例3 求函數(shù) 的極值. [1]P190 E43. ⅰ 單調(diào)函數(shù)的最值:ⅱ 如果函數(shù) 在區(qū)間 上可導(dǎo)且僅有一個駐點, 則當 為極大值點時, 亦為最大值點。利用導(dǎo)數(shù)證明不等式: 原理: 若 ↗, 則對 , 有不等式 . 又 則 時, (不等式原理的其他形式.) 例6 證明: 時, . 例7 證明: 時, .2.教學(xué)重點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的凸性教學(xué)難點：利用凸性證明相關(guān)命題教學(xué)方法：系統(tǒng)講授法＋演示例題一．凸性的定義及判定： 與弦的位置關(guān)系。 Jensen不等式: 設(shè)在區(qū)間 上恒有 ( 或 , 則對 上的任意個點 , 有Jensen不等式: ( 或 ,且等號當且僅當 時成立.證 令 , 把 表為點 處具二階Lagrange型余項的Taylor公式，仿前述定理的證明，注意 即得所證.對具體的函數(shù)套用Jensen不等式的結(jié)果, 可以證明一些較復(fù)雜的不等式. 這種證明不等式的方法稱為Jensen不等式法或凸函數(shù)法. 具體應(yīng)用時, 往往還用到所選函數(shù)的嚴格單調(diào)性.例2 設(shè) ，證明 .解 取 , 應(yīng)用Jensen不等式.Jensen不等式在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用舉例: 參閱 荊昌漢 文: “凸(凹)函數(shù)定理在不等式證明中的應(yīng)用”,《數(shù)學(xué)通訊》. P39. 例6 在⊿ 中, 求證 .解 考慮函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)凹, 由Jensen不等式, 有.. 例7 已知 . 求證 .解 考慮函數(shù) , 在 內(nèi)嚴格上凸. 由Jensen不等式, 有 . . 例8 已知 求證 .( 留為作業(yè) ) 解 函數(shù) 在 內(nèi)嚴格下凸. 由Jensen不等式, 有.習(xí)題、小結(jié)（2學(xué)時） 25
教學(xué)教案相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1