21-微分中值定理(編輯修改稿)
2025-08-20 04:57 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 算科學(xué)學(xué)院 22 推論 如果函數(shù) f(x) 和 g(x)在區(qū)間 I上可導(dǎo)， 且 ( ) ( ) ,f x g x???則在區(qū)間 I上 ( ) ( ) ,f x g x C??其中 C 為任意常數(shù) . 證 由于 ( ) ( ) ,f x g x???則 [ ( ) ( ) ] 0 .f x g x ???由推論 ，可知 ( ) ( ) ( ) .f x g x C C?? 為 常 數(shù)上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 23 例 6 驗證拉格朗日中值定理對于函數(shù) ( ) lnf x x?在區(qū)間 [1, ]e 上的正確性． 解 ( ) lnf x x?顯然在區(qū)間 [1, ]e 上連續(xù)，在區(qū)間 (1, )e 內(nèi)可導(dǎo)．而 (1 ) 0 ,f ? ( ) 1,fe ? 1( ) .fx x? ?由 ( ) ( 1 ) 1 ,1f e fe ?? ??上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 24 解得 1 ( 1 , ) ,ee? ? ? ?故可取 1,e? ??使 ( ) ( 1 )()1f e ffe??? ??成立． 上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 25 例 7 證明：當(dāng) 1x1 時， 2a r c s in a r c t a n .1xxx??證 令 2( ) a r c sin a r c t a n ,1xf x xx???則 222211()11 11xfxxxxx???? ?? ???? ????上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 26 221111xx????0,?則 ( ) ( 1 1 ) ,f x C x? ? ? ?又 ( 0 ) 0f ? ，則 0C ? ，因此， ( ) 0fx ?，即 2a r c s in a r c t a n .1xxx??上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 27 例 8 證明不等式 證 設(shè) ( ) ln( 1 ) ,f t t??朗日中值定理條件 , 即 ln( 1 ) ( 0 ) .1 x x x xx ? ? ? ??因此 滿足拉格 則 因為 故 上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 28 例 9 ( ) ( , + ) , ( ) = ( ) ,f x f x f x?? ? ?設(shè) 在 內(nèi) 可 導(dǎo) 且 有分析 ()( ) , ( ) 0 .xfxF x F xe ???令 則( ) = 1Fx . 即 得 證 明 .( ) = , ( 0 ) = 1 ,F x c F因 此 而 則( 0 ) = 1 ,f 證 明( ) = .xf x e上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 29 證 ()( ) ,xfxFx e?令 則2( ) ( )( ) .xxxf x e f x eFxe? ?? ?而 ( ) ( ) ,f x f x?? 則 ( ) ? ?( ) = , ( 0 ) = 1 , = 1 , ( ) = 1 .F x C F C F x因 此 而 則 即從而 ( ) .xf x e?上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 30 例 10 設(shè) f (x) 在區(qū)間 [a, b]上連續(xù) , (a, b) 內(nèi)可導(dǎo) , 且 ( ) = ( ) = 1 ,f a f b證明存在 , ( , ) ,ab?? ? 使 ( ) ( ) = 1 .e f f?? ??? ??[]分析 改寫結(jié)論為 證明含兩個點的等式 ,通常分別對兩個函數(shù) 在同一區(qū)間用中值定理 . ( ) ( ) = .e f f e???? ??[]對函數(shù) y＝ ex 在區(qū)間 [a, b]上應(yīng)用拉氏中值定理 ,有 ( ) , ( , ) .bae e e b a a b? ?? ? ? ?.baeee ba? ?? ?即 上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 31 對函數(shù) y＝ ex f (x) 在區(qū)間 [a, b]上應(yīng)用拉氏中值定理 , 有 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ,( , ) .bae f b e f a e f e f b aab?? ???+ ?? ? ??由條件 , f(a)=f(b)=1, 代入上式 , 得 ( ) ( ) ,baeee f e f ba???? ?? ?+=從而有 ( ) ( ) .e f e f e? ? ??? ?+=上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 32 例 11 設(shè) f (x) 在區(qū)間 [0, 1]上連續(xù) , (0, 1) 內(nèi)可導(dǎo) , 且 ( 0 ) = 0 , ( 1 ) = 1 ,ff證明 1 ( 0, 1) ( ) = 。2 , ( 0, 1) ( ) ( ) = 1.fff? ? ?? ? ? ? ? ??????.存 在 ,使 1.存 在 ,使分析 1. 要證 ( ) = 1 ,f ?? 有零點 . 即 ( ) = 1f x x?( ) ( ) 1 ,g x f x x? ? ?令 則 g(x)在 [0,1]連續(xù) , 且 g ( 0 ) = 1 0 g ( 1 ) = 1 0? ,由零點存在定理得證 . 上一頁 下一頁 返回首頁 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院 33 ( ) [ 0 ] [ 1 ]fx ?? 函 數(shù) 分 別 在
教學(xué)教案相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1