【文章內(nèi)容簡介】 所以 1 2 2 111( ) ( ) ( )f x x f x f xxx?? ?, 即 )()()( 2121 xxxx fff ??? . 7 假設(shè)當 nk? 時不等式成立 ,即 11( ) ( )kkiiiif x f x?????. 取 1111( ) ( )kki i kiif x f x x????????,顯然 1 0kx?? 的情況不證而明 ,所以只考慮 1 0kx? ? 的情況 .取1kiiux???,由前面已證的結(jié)論有 11( ) ( ) ( )kkf u x f u f x??? ? ?, 再用歸納假設(shè)可得 11( ) ( )kkiiiif x f x???????, 即當 1nk??時結(jié)論成立 .所以 . 11( ) ( )nniiiif x f x?????. 8 第四章 利用柯西中值定理證明不等式 柯西中值定理的分析 柯西中值定理是研究兩個函數(shù) ( ), ( )f x g x 的變量關(guān)系的中值定理 ,當一個函數(shù) (不妨設(shè)此函數(shù)為 ()gx)取作自變量自身時它就是拉格朗日中值定理 ,所以用拉格朗日中值定理能證明的不等式 一定能用柯西中值定理來證明 ,反之則不然 .下面舉例來說明 : 對例 2 用柯西中值定理證明 ,這里僅用第一個小題來說明 ,其證法如下 : 證明 (1)令 ( ) ln(1 )f x x??, ()gx x? . ( ), ( )f x g x 在區(qū)間 ? ?0, ( 0)xx? 上連續(xù) ,在? ?0, ( 0)xx? 內(nèi)可導 ,且 ()gx? 在 ? ?0, ( 0)xx? 內(nèi)每一點都不為零 ,那么由柯西中值定理可得 : ln (1 ) ln (1) 1(1 ) 1 1xx ??? ?? ? ?, (0, )x?? 則有 ln (1 ) ln (1)1 xx ?? ? ? ?, (0, )x?? . 下面與例 2 中解法同 ,這里就不再贅述了 . 柯西中值定理證明不等式 例 4 (1)設(shè) 0x? ,對 01???的情況 ,求證 : 1xx? ??? ? ? . (2)設(shè) 0x? ，求證 : sin 1xxe??. 證明 (1)設(shè) xxf ??)( , xxg ??)( . 當 1x? 時結(jié)論顯然成立 . 當 1x? 時 ,取 ? ?,1x 或 ? ?1,x , ( ), ( )f x g x 在閉區(qū)間 ? ?,1x 或 ? ?1,x 上連續(xù) ,在開區(qū)間 ? ?,1x 或? ?1,x 可導 ,且 ()gx? 在內(nèi) ? ?,1x 或 ? ?1,x 每一點均不為零 ,由柯西中值定理可得 : ( ) (1) ( )( ) (1) ( )f x f fg x g g ???? ? ?? , ( ,1x?? 或 (1, )x?? 即 1 11xx?? ??? ?? ? ? ? ?? ??? . 9 所以 1xx? ??? ? ? 得證 . (2)設(shè) ( ) sinf t t? , () tgt e? , ? ?0,tx? , ( ), ( )f x g x 在閉區(qū)間 ? ?0,x 上連續(xù) ,在開區(qū)間? ?0,x 內(nèi)可導 ,且 ()gx? 在 ? ?0,x 內(nèi)每一點均不為零 ,那么由柯西中值定理可得 : ( ) (0 ) ( )( ) (0 ) ( )f x f fg x g g ???? ? ?? , ? ?0,x?? . 即 sin cos1t xee????, ? ?0,x?? . 因為 10xe ?? , 10e? ?? ,所以 sin cos 11t xee?????. 即 sin 1xxe??. 注意 :例 4 中的兩個不等式能用柯西中值定理來證明 ,但不能用拉格朗日中值定理證明 . 例 5 如果函數(shù) ()fx滿足兩個條件 :(1)在閉區(qū)間 ? ?,ab 上有二階導數(shù) ()fx?? 。 (2) ( ) ( ) 0f a f b????.試證明 :在開區(qū)間 ? ?,ab 內(nèi)至少存在一點 c , 使得 24( ) ( ) ( )()f c f b f aba?? ???. 證明 令24 ( ) ( )()k f b f aba???.在此我們利用用反證法來證明本題 , 我們不妨假設(shè) ()f x k?? ? ,a x b??.對于構(gòu)造的輔助函數(shù) ? ?0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )F x f x f x f x x x?? ? ? ?及 20( ) ( )G x x x?? (其中 0x 是 ? ?,ab 中任意固定的一點 ),兩次利用柯西中值定理 ,可得 : 20 0 0 01( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2f x f x f x x x x x f ?? ??? ? ? ? ? 其中 ? 介于 0x 與 x 之間 (即 0xx??? 或 0xx??? ),x 為 ? ?,ab 上任意點 ,特別地 ,在上式中取 0xa? , 2abx ?? ,并利用已知條件 ( ) 0fa? ? ,則有 : 21()( ) ( ) ( )28a b b af f a f c?? ????,其中 1c 滿足1 2abac ???, 10 于是 2()( ) ( )28a b b af f a k????. 同理再取 0xb? ,2abx ??,并利用已知條件 ( ) 0fb? ? ,則得 : 22()( ) ( ) ( )28a b b af f b f c?? ????,其中 2c 滿足22abcb? ??. 于是 : 2()( ) ( )28a b b af b f k????. 因此 , 2()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 4a b a b b af b f a f b f f f a k f b f a? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?. 這是不可能的 .所以在區(qū)間 ? ?,ab 內(nèi)至少存在一點 c , 使得 24( ) ( ) ( )()f c f b f aba?? ???. 11 第五章 利用泰勒中值定理證明不等式 泰勒中值定理證明不等式的方法歸納 泰勒公式的余項大體分兩種 :佩亞諾型余項 ,拉格朗日型余項 .與帶拉格朗日型余項的泰 勒公式相比 ,帶佩亞諾型余項的泰勒公式對函數(shù) ()fx的假設(shè)條件較少 ,只需函數(shù) ()fx在 0x 處 n 階可導 ,不需要 1n? 階可導 ,也不需要在 0x 的鄰域內(nèi)存在 n 階連續(xù)導數(shù) ,因此應(yīng)用 范圍較廣 .但是在證明不等式時 ,精確度卻不如帶拉格朗日型余項的泰勒公式好 . 利用此原理可以證明一般的不等式 ,積分不等式 ,估值不等式等多種不等式 ,這種方法的用法非常廣泛 . 證明方法 : (1) 根據(jù)已知條件 ,圍繞證明目標 ,尋取適當?shù)狞c將函數(shù)在該點展成泰勒展式 . (2) 根據(jù)已知條件 ,向著有利于證明不等式的方向?qū)ι厦娴恼故阶鬟m當?shù)奶幚?,直到可以結(jié)合已知條件證出不等式為止 . 泰勒中值定理證明不等式 例 6 當 0 2x ??? 時 ,求證 : 222 1 200( 1 ) s in ( 1 )( 2 1 ) ! ( 2 1 ) !k k k knnkkx x xk x k???????????. 分析 :由于朗格朗日中值定理很容易證明 sin01xx??, 而利用泰勒中值定理時 ,當 1n? 時 ,不等式為 : 2 2 4s in113 ! 3 ! 5 !x x x xx? ? ? ? ?. 顯然第二個比前一個的不等式的精確度高得多 ,隨著 n 的增大 ,不等式的精確度會大幅度地提高 ,所以我們在做題過程 中 ,按題目的要求來選擇適當?shù)姆椒▉碜C明不同的不等式 . 證明 令 ( ) sinf x x? ,那么函數(shù) ()fx在 0 0x? 點展開前 2n 項的泰勒公式 , 余項取拉格朗形式 ,那么有 : 212430 ( 1 )s in ( )( 2 1 ) !kknnk xx R xk??? ????? 12 434 3 4 3 4 3433si n( )si n c os2() ( 4 3 ) ! ( 4 3 ) ! ( 4 3 ) !n x n n nn xR x x x xn n n??? ??? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?. 因為 02x ??? ? ?,所以 cos 0?? ,從而 21( ) 0nRx? ? , 所以有 2120( 1)sin (2 1) !kknkxx k ???? ?? . 即 220( 1)sin (2 1)!kknkxx k??? ?? . 同理 ,因為 412s i n( )2( ) 0( 4 1 ) ! nnR x xn???????,所以左端的不等號也成立 . 另外 ,在遇到高階導數(shù)的不等式 ,一般都首先考慮泰勒中值定理 .像 之前的例 們也可以用泰勒中值定理來證明 ,下面具體來說明 : 例 5 的另一種證法 : 由題設(shè)條件 ,應(yīng)用泰勒展開式有 : 211( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2a b