【正文】 (2)求證 : arc tg arc tg? ? ? ?? ? ?. 證明 (1)令 ( ) ln(1 )f x x??, ()fx在區(qū)間 ? ?0, ( 0)xx? 上連續(xù) ,在 ? ?0, ( 0)xx? 內(nèi)可導(dǎo) ,應(yīng)用拉格朗日中值定理 ,則有 ln (1 ) ln (1)1 xx ?? ? ? ?, (0, )x?? . 由于在閉區(qū)間 ? ?0,x 上 ,有11xxxx ?????,所以 ln(1 )1 x xxx ? ? ?? ( 0)x? . 6 (2)當(dāng) ??? 時(shí) ,顯然等號成立 . 當(dāng) ??? 時(shí) ,不妨設(shè) ??? .設(shè) ? ?( ) , ,f x ar ctgx x ????, 由拉格朗日中值定理得 ,211a rctg a rctg??? ? ?? ??? , ( , )? ??? . 則有 21 ()1a r c tg a r c tg? ? ? ??? ? ?? 所以 21 ()1a r c tg a r c tg? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??. 以上兩個(gè)例子都是利用拉格朗日中值定理來證明不等式 ,有些不等式利用此定理時(shí) ,方法要靈活些 . 例 3 當(dāng) 0x? 時(shí) ,函數(shù) ()fx在其定義域上可導(dǎo) ,且 ()fx? 為不增函數(shù) ,又 ( ) 0fx? , 0, 1, 2,..., ,ix i n?? 求證 11( ) ( )nniiiif x f x?????. 證明 用數(shù)學(xué)歸納法 當(dāng) 1n? 時(shí) ,顯然不等式成立 . 當(dāng) 2n? 時(shí) ,若 12,xx均為 0 ,或者一個(gè)為 0 時(shí) ,當(dāng)一個(gè)為 0 時(shí) , 顯然有 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x? ? ?. 設(shè) 12,xx均大于 0 ,不妨設(shè) 12xx? ,在 ? ?10,x 應(yīng)用拉格朗日中值定理可得 : ? ?11 1 1 1( ) ( ) ( 0 ) ( ) , 0 ,0f x f x f fxx ? ? ?? ?? ? ??. 在 ? ?2 1 2,x x x? 上再次利用拉格朗日中值定理可得 : ? ?1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 21 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,f x x f x f x x f x f x x xx x x x ??? ? ? ? ?? ? ? ??? 顯然 12??? ,由題設(shè)知 , 12( ) ( )ff????? . 所以 1 2 2 111( ) ( ) ( )f x x f x f xxx?? ?, 即 )()()( 2121 xxxx fff ??? . 7 假設(shè)當(dāng) nk? 時(shí)不等式成立 ,即 11( ) ( )kkiiiif x f x?????. 取 1111( ) ( )kki i kiif x f x x????????,顯然 1 0kx?? 的情況不證而明 ,所以只考慮 1 0kx? ? 的情況 .取1kiiux???,由前面已證的結(jié)論有 11( ) ( ) ( )kkf u x f u f x??? ? ?, 再用歸納假設(shè)可得 11( ) ( )kkiiiif x f x???????, 即當(dāng) 1nk??時(shí)結(jié)論成立 .所以 . 11( ) ( )nniiiif x f x?????. 8 第四章 利用柯西中值定理證明不等式 柯西中值定理的分析 柯西中值定理是研究兩個(gè)函數(shù) ( ), ( )f x g x 的變量關(guān)系的中值定理 ,當(dāng)一個(gè)函數(shù) (不妨設(shè)此函數(shù)為 ()gx)取作自變量自身時(shí)它就是拉格朗日中值定理 ,所以用拉格朗日中值定理能證明的不等式 一定能用柯西中值定理來證明 ,反之則不然 .下面舉例來說明 : 對例 2 用柯西中值定理證明 ,這里僅用第一個(gè)小題來說明 ,其證法如下 : 證明 (1)令 ( ) ln(1 )f x x??, ()gx x? . ( ), ( )f x g x 在區(qū)間 ? ?0, ( 0)xx? 上連續(xù) ,在? ?0, ( 0)xx? 內(nèi)可導(dǎo) ,且 ()gx? 在 ? ?0, ( 0)xx? 內(nèi)每一點(diǎn)都不為零 ,那么由柯西中值定理可得 : ln (1 ) ln (1) 1(1 ) 1 1xx ??? ?? ? ?, (0, )x?? 則有 ln (1 ) ln (1)1 xx ?? ? ? ?, (0, )x?? . 下面與例 2 中解法同 ,這里就不再贅述了 . 柯西中值定理證明不等式 例 4 (1)設(shè) 0x? ,對 01???的情況 ,求證 : 1xx? ??? ? ? . (2)設(shè) 0x? ，求證 : sin 1xxe??. 證明 (1)設(shè) xxf ??)( , xxg ??)( . 當(dāng) 1x? 時(shí)結(jié)論顯然成立 . 當(dāng) 1x? 時(shí) ,取 ? ?,1x 或 ? ?1,x , ( ), ( )f x g x 在閉區(qū)間 ? ?,1x 或 ? ?1,x 上連續(xù) ,在開區(qū)間 ? ?,1x 或? ?1,x 可導(dǎo) ,且 ()gx? 在內(nèi) ? ?,1x 或 ? ?1,x 每一點(diǎn)均不為零 ,由柯西中值定理可得 : ( ) (1) ( )( ) (1) ( )f x f fg x g g ???? ? ?? , ( ,1x?? 或 (1, )x?? 即 1 11xx?? ??? ?? ? ? ? ?? ??? . 9 所以 1xx? ??? ? ? 得證 . (2)設(shè) ( ) sinf t t? , () tgt e? , ? ?0,tx? , ( ), ( )f x g x 在閉區(qū)間 ? ?0,x 上連續(xù) ,在開區(qū)間? ?0,x 內(nèi)可導(dǎo) ,且 ()gx? 在 ? ?0,x 內(nèi)每一點(diǎn)均不為零 ,那么由柯西中值定理可得 : ( ) (0 ) ( )( ) (0 ) ( )f x f fg x g g ???? ? ?? , ? ?0,x?? . 即 sin cos1t xee????, ? ?0,x?? . 因?yàn)?10xe ?? , 10e? ?? ,所以 sin cos 11t xee?????. 即 sin 1xxe??. 注意 :例 4 中的兩個(gè)不等式能用柯西中值定理來證明 ,但不能用拉格朗日中值定理證明 . 例 5 如果函數(shù) ()fx滿足兩個(gè)條件 :(1)在閉區(qū)間 ? ?,ab 上有二階導(dǎo)數(shù) ()fx?? 。 Apply of inequality。 關(guān)鍵詞 : 羅爾中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；泰勒中值定理；不等式證明；不等式 的應(yīng)用 II Abstract There are many ways to prove inequality， And value theorem to prove the inequality is a kind of important method. This paper will give some examples that use Roller Mean Value Theorem， Lagrange Mean Value Theorem， Cauchy Mean Value Theorem and Taylor Mean Value Theorem to prove inequality. The new curriculum standard pay more attention to the principle that theory with the practice and apply practical， therefore this paper finally give some basic inequality in real life application. Key Words: Roller Mean Value Theorem。 JIU JIANG UNIVERSITY 畢 業(yè) 論 文 題 目 微分中值定理證明不等式方法研究 英文題 目 Using differential mean value theorem proving inequality method studying 院 系 理學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 姓 名 胡霞 班 級 A0811班 指導(dǎo)教師 強(qiáng)毅 二零一二年五月 I 摘 要 不等式的證明有很多種，其中微分中值定理是證明不等式的一種重要的方法。 Lagrange Mean Value Theorem。 Prove inequality. 目 錄 引言 .....................................................................................