證明不等式的幾種常用方法-wenkub.com
2025-04-05 04:10 本頁面
【正文】 (c＋d)，∵a＋b＞0，∴4cd＜(a＋b)(c＋d)，綜合不等式②，得4cd＜ab＋cd，∴3cd＜ab，即cd＜ab．由不等式④，得(a＋b)＜ab＋cd＜ab，即a＋b＜－ab，顯然矛盾．∴不等式①、②、③中至少有一個不正確．例2 已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，求證：a＞0，b＞0，c＞0．證明：反證法由abc＞0知a≠0，假設a＜0，則bc＜0，又∵a＋b＋c＞0，∴b＋c＞－a＞0，即a(b＋c)＜0，從而ab＋bc＋ca = a(b＋c)＋bc＜0，與已知矛盾．∴假設不成立，從而a＞0，同理可證b＞0，c＞0．例3 若p＞0，q＞0，p＋q= 2，求證：p＋q≤2．證明：反證法假設p＋q＞2，則(p＋q)＞8，即p＋q＋3pq (p＋q)＞8，∵p＋q= 2，∴pq (p＋q)＞2．故pq (p＋q)＞2 = p＋q= (p＋q)( p－pq＋q)，又p＞0，q＞0 p＋q＞0，∴pq＞p－pq＋q，即(p－q) ＜0，矛盾．故假設p＋q＞2不成立，∴p＋q≤2．例4 已知= x＋ax＋b，其中a、b是與x無關的常數，求證：||，||，||中至少有一個數不小于．反證法一：假設||＜，||＜，||＜，由于= 1＋a＋b，= 4＋2a＋b，= 9＋3a＋b，∴＋－=2，但是，2 = |＋－|≤||＋||＋2||＜＋＋2= 2，即2＜2，矛盾，∴假設不成立，∴||，||，||中至少有一個數不小于．反證法二：假設||＜，||＜，||＜，即 ①＋③得：－1＜4a＋2b＋10＜1，即－＜2a＋b＋5＜，∴－＜2a＋b＋4＜－，④顯然②與④矛盾，因此，假設是不成立的，故||，||，||中至少有一個數不小于．例4 設a，b，c均
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