證明不等式的幾種常用方法-閱讀頁(yè)
2025-04-23 04:10本頁(yè)面
【正文】 1－sin)≤r，而r≥，r≤3，∴ ≤x－xy＋y≤3．例2 已知x－2xy＋y≤2，求證：| x＋y |≤．證明：∵x－2xy＋y= (x－y)＋y，∴可設(shè)x－y = rcos，y = rsin，其中0≤r≤，0≤＜．∴| x＋y | =| x－y＋2y | = | rcos＋2rsin| = r|sin(＋ractan)|≤≤．例3 已知－1≤x≤1，n≥2且nN，求證：(1－x)＋(1＋x)≤2．證明：∵－1≤x≤1，設(shè)x = cos (0≤≤)，則1－x =1－cos= 1－(1－2sin) = 2sin，1＋x =1＋cos= 2cos，∴(1－x)＋(1＋x)= 2sin＋2cos≤2( sin＋cos) =2，故不等式(1－x)＋(1＋x)≤2成立．例4 求證：－1≤－x≤．證明：∵1－x≥0，∴－1≤x≤1，故可設(shè)x = cos，其中0≤≤．則－x =－cos= sin－cos=sin(－)，∵－≤－≤，∴－1≤sin(－)≤，即－1≤－x≤．三、增量代換法在對(duì)稱式(任意互換兩個(gè)字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量進(jìn)行代換，代換的目的是減少變量的個(gè)數(shù)，使要證的結(jié)論更清晰，思路更直觀，這樣可以使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)．例7 已知a，bR，且a＋b = 1，求證：(a＋2)＋(b＋2)≥．證明：∵a，bR，且a＋b = 1，∴設(shè)a =＋t，b=－t， (tR)則(a＋2)＋(b＋2)= (＋t＋2)＋(－t＋2)= (t＋)＋(t－)= 2t＋≥．∴(a＋2)＋(b＋2)≥．例8 已知a＋a＋…＋a= 1，求證：＋＋…＋≥．證明：設(shè)a= t＋，a= t＋，…，a= t＋，其中t＋t＋…＋t= 0，則＋＋…＋= (t＋)＋(t＋)＋…＋(t＋)= n183
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