【文章內容簡介】 式，其表述是：在 nm? 矩陣中，各行元素之和的幾何平均不小于個列元素之和的幾何平均之積。 4 （ 6）概率論形式 ??1 )()()( XYEYEXE ? （ 7）積分形式 ??1 ? ? ))]([)()]([())()(( 222 ??? ? xxx dxgdxfdxgxf （ 8）小結 從上述的眾多形式我們不難看出，對于高等代數(shù)、數(shù)學分析、概率論這三個看似沒有聯(lián)系的數(shù)學基礎課程，其實是存在內在聯(lián)系的，雖然柯西不等式在這三門課程中以不同的形式存在，也擁有不 一樣的名稱，但是其實質意義是一致的。 5 三 柯西不等式的證明方法 對于柯西不等式的了解我們不能局限于外表的形式，更要了解柯西不等式的證明過程，這樣在學習和運用柯西不等式的過程中能有更為清晰的思路，在運用中才能做到游刃有余，從而幫助我們更好的解決問題。對于柯西不等式的的證明方法多種多樣，大家所熟悉的有像構造二次函數(shù)法、數(shù)學歸納法、配方法、均值不等式法這些比較容易理解的方法和掌握的方法，但其實還有向量法、行列式證明法、利用二次型法、利用線性相關性法這些雖然相對其他方法稍難理 解和記憶，但在證明柯西不等式時，也是非常不錯的幾種方法。在加強我們對于柯西不等式的理解和運用存在著非常重要的作用。 具體方法如下： （ 1）構造二次函數(shù)法 ????32 2233222211 )()()()()( nn bxabxabxabxaxf ????????? ? )()(2)( 222133221122221 nnnnnn bbbxbabababaxaaa ????????????? ??? 0232221 ????? nnaaaa ?? 0)( ?? xf 恒成立 0))((4)(4 2221222122211 ????????????? nnnnnn bbbaaabababa ????又 即 ))(()( 2221222122211 nnnnnn bbbaaabababa ?????????? ??? 當且僅當 )2,1(0ii nixbxa ???? 即nnbababa ??? ?2211 時等號成立 綜上柯西不等式成立 （ 2）數(shù)學歸納法 ????32 i）當 1?n 時，有 2121211 )( baba ? ，柯西不等式成立 當 2?n 時，有 22112222212122211 2)( babababababa ???? 212222212222212122212221 ))(( bababababbaa ?????? 221121222221 2 babababa ??? ))(()( 2221222122211 bbaababa ????? 當且僅當 1221 baba ? 時，等號成立 2,1??n 時，柯西不等式成立 6 ii)假設 )2,(,n ??? kNkk 時，柯西不等式成立 即 ))(()( 222212222122211 kkkk bbbaaabababa ?????????? ??? 當 kkab ii ,? 為常數(shù) , ni ?2,1? 或 021 ???? kaaa ? 時等號成立 設 kkkk bababaCbbbBaaaA ???????????? ??? 22112222122221 , 則 22 12 12 12 12 1 ))(( ????? ????? kkkkk baAbABbBaA )(2 112 12 1112 ?????? ????? kkkkkk baCbabCaC ))(( 2 1222212 122221 ?? ????????? kkkk bbbbaaaa ?? 2112211 )( ??????? kkkk babababa ? 當 kkab ii ,? 為常數(shù)， ni ?2,1? 或 0k21 ???? aaa ? 時等號成立 即 1??kn 時不等式成立 綜合 i） ii）可知 ,柯西不等式成立 （ 3）配方證明法 ))(())(()())(( 111 21 2211 21 2 jnj jini inj jni ini iinj jni i bababababa ??????? ??????? ???? ? ?? ? ? ?? ? ?? ni nj jjiini nj ji bababa 1 11 1 22 ? ?? ? ??? ni nj ijjjiiji babababa1 1 2222 )2(21 0)(21 21 1 ??? ? ?? ? ijni nj ji baba 211212211212 )())((,0)())(( ???????????? ????ni iinj jni ini iinj jni i babababa 即 即 ))(()( 22221222212211 nnnn bbbaaabababa ?????????? ??? 當且僅當 ),2,1,(0 njibaba ijji ???? 即 )0。,2,1。,2,1( ????jijji bnjnibaba ??時等號成立 綜上所述柯西不等式成立 7 （ 4）向量證明法 設 n 維空間中有兩個向量 ),(),( 2121 nn bbbbaaaa ?? ?? 其中 n2121 ,, bbbaaa n ?? ； 為任意兩組實數(shù) 由向量長度定義，有 2222122221 , nn bbbbaaaa ???????? ?? 又由向量的內積定義， ?cosbaba ?? ，其中 ? 為 ba， 的夾角 再 nn babababa ????? ?2211 而 1cos ?? 所以 baba ?? 于是有 22221222212211 nnnn bbbaaabababa ?????????? ??? 即 ))(()( 222212222122211 nnnn bbbaaabababa ?????????? ??? 當且僅當 1cos ?? 時，即 a 與 b 共線時等號成立 由 ),2,1,0(2211 nibbababa inn ?? ????? 綜上所述，柯西不等式成立。 （ 5）利用均值不等式法 當 0))(( 2222122221 ??????? nn bbbaaa ?? 時，柯西不等式成立 當 0))(( 2222122221 ??????? nn bbbaaa ?? 時，柯西不等式可化為 ))(( )(1 222212222122211nnnn bbbaaa bababa ?????? ???? ?? ? 由均值不等式可知))(( )( 222212222122211nnnn bbbaaa bababa ?????? ??? ?? ? 2)()( 2222212222211nnn aaaaaaaa????????? ??? 2)()( 2222212222211nnn bbbbbbbb????????? ??? 22222122222121nnn aaaaaaaa????????? ??? 8 22222122222121nnn bbbbbbbb????????? ??? 1? 即))(( )(1 222212222122211nnnn bbbaaa bababa ?????? ???? ?? ? 當且僅當 ),2,1,0(2211 nibbababa inn ?? ????? 時等號成立 綜上所述，柯西不等式得證 . （ 6）利用行列式證明柯西不等式 ??4 首先存在定理：設 )(,11111111ijnnnnnnn