二維形式的柯西不等式大全(編輯修改稿)
2024-08-22 13:38 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 n x ＝ 177。3 28時，函數(shù)有最大值 41 補(bǔ)充例題 : .1,yb, 1 的最小值求且已知例 yxxaRbayx ???? ?? ?2m i n22222)()(.,)( )()(,1, :bayxbayxxayybxbaybxayxyxybxaRbayx???????????????????????????????????????????時取等號即當(dāng)且僅當(dāng)解 ?變式引申 : .,94,132 22 并求最小值點(diǎn)的最小值求若 yxyx ???)61,41(,2194614113232.32,1312.2194,1)32()11)(94(:222222222最小值點(diǎn)為的最小值為得由時取等號即當(dāng)且僅當(dāng)由柯西不等式解yxyxyxyxyxyxyxyxyx?????????????????????????????柯西不等式的應(yīng)用舉例 : 思考 2 . 已知 224 9 3 6xy ?? , 求 2xy? 的最大值 . 課堂練習(xí) 變式 1 . 已知 224 9 3 6xy ?? , 求 2xy? 的最大值 . 變式 2 . 已知 3 2 6xy?? , 求 22xy ? 的最 小 值 . 變式 3 . 已知 3 2 6xy?? , 求 22 2xy ? 的最 小 值 . 思考 3 . 求 函數(shù) 5 1 1 0 2y x x? ? ? ?的 最 大 值 . 課堂練習(xí) 1 : 已知 a , b ?? R ， a + b = 1 ,12,x x R ?? 求證： ? ? ? ?1 2 1 2 1 2a x b x b x a x x x? ? ? ≥ 分析： 如果對不等式左端用柯西不等式，就得不到所要證明的結(jié)論 . 若把第二個小括號內(nèi)的 前后項(xiàng)對調(diào)一下 ，情況就不同了 . 證明： ∵? ? ? ?1 2 1 2a x b x b x a x? ? ?=? ? ? ?1 2 2 1a x b x a x b x? ? ? 由柯西不等式可知 ? ? ? ?1 2 1 2a x b x b x a x? ? ?? ?21 2 1 2a x x b x x?≥ =? ? 2 1 2 1 2a b x x x x??. 得證 作業(yè) : 課本 37P 習(xí)題 3 . 1 第 1 、 3 、 7 、 8 題 a 、 b 為非負(fù)數(shù)， a ＋ b ＝ 1 ， x1， x2∈ R ＋ . 求證： ( ax1＋ bx2)( bx1＋ ax2) ≥ x1x2 【思路分析】 不等號左邊為兩個二項(xiàng)式積， a 、 b 為非負(fù)數(shù)，x1， x2∈ R ＋ ，每個兩項(xiàng)式可以使用柯西不等式，直接做得不到預(yù)想結(jié)論，當(dāng)把第二個小括號的兩項(xiàng)前后調(diào)換一下位置，就能證明結(jié)論了． 用柯西不等式證明不等式 【證明】 ∵ a ＋ b ＝ 1 ∴ ( ax1＋ bx2)( bx1＋ ax2) ＝ ( ax1＋ bx2)( ax2＋ bx1) ≥ ( a x1x2＋ b x1x2)2 ＝ ( a ＋ b )2x1x2＝ x1x2 即 ( ax1＋ bx2)( bx1＋ ax2) ≥ x1x2 【名師點(diǎn)睛】 用柯西不等式證明不等式時，關(guān)鍵是將不等式配湊成柯西不等式的形式，通常要拆常數(shù)、重新安排某些項(xiàng)的次序 ( 如例 1) 、改變結(jié)構(gòu) ( 下面的延伸拓展 ) 和添項(xiàng)等． 1 ． 若 a b c , 求證： 1a － b ＋ 1b － c ≥ 4a － c 思路分析： 初見并不能使用柯西不等式，改造結(jié)構(gòu)后便可使用柯西不等式了． 證明： ∵ a － c ＝ ( a － b ) ＋ ( b － c ) ∵ a c ∴ a － c 0 ∴ 結(jié)論改為 ( a － c )(1a － b＋1b － c) ≥ 4 ( a － c )(1a － b＋1b － c) ＝ [( a － b ) ＋ ( b － c ) ] (1a － b＋1b － c) ≥ (1 ＋ 1)2＝
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