二維形式的柯西不等式大全-資料下載頁
2025-07-26 13:38本頁面
【正文】 的最小值是則若 bbaaba ?????A B 3 11225例 ABC之三邊長為 4， 5， 6， P為三角形 內(nèi)部一點 P， P到三邊的距離分別為 x， y， z， 求 x2+y2+z2的最小值。 456xyzDFEABCP2152654 ????s解：?ABC面積 = 4715232527215))()(( ???????? csbsass4715)654(21 ??? zyx又2715654 ??? zyx而(4x+5y+6z)2≤(x2+y2+z2)(42+52+62) x2+y2+z2? 44225456xyzDFEA BCP課外思考 : 1. 已知221 1 1 ,a b b a? ? ? ?求證：22 1ab ??. 2 . 設(shè) a, b, c 為正數(shù)且不相等，求證： 2 2 2 9a b b c c a a b c? ? ?? ? ? ? ?. 3. 設(shè), 21 ?? Rxxx n?求證： 2222112122 3 1nnnnxxxxx x xx x x x?? ? ? ? ? ? ?≥ （ 1984 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題） 作業(yè) : 課本 37P 習(xí)題 3 . 1 第 1 、 3 、 7 、 8 題 已知221 1 1 ,a b b a? ? ? ?求證：22 1ab ??。 證明：由柯西不等式，得 ? ? ? ?2 2 2 2 2 21 1 1 1 1a b b a a a b b? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?≤ 當且僅當 2211bbaa???時，上式取等號， 221 1 ,a b a b? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 21 1 ,a b a b? ? ? 于是 221ab ?? 。 注：這里是利用其取等號的充分必要條件來達到目的 分析：我們利用 9 與 2 這兩個常數(shù)進行巧拆， 9=? ?2111??，? ? ? ? ? ? ? ?2 a b c a b b c c a? ? ? ? ? ? ? ?這樣就給我們利用柯西不等式提供了條件。證明： ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?2 2 22 2 2221 1 1 1 1 121 1 11 1 11 1 1 92 2 2 9a b c a b b c c aa b b c c a a b b c c aa b b c c aa b b c c aa b b c c aa b b c c aa b b c c a a b? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ?????? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ???? ? ?? ? ? ?≥≥c? ?a,b ,c 各不相等，?等號不可能成立，從而原不等式成立。 3. 證明：在不等式的左端嵌乘以因式? ?2 3 1nx x x x? ? ? ?，也即嵌以因式? ?12 nx x x? ? ?，由柯西不等式，得 ? ?22221122 3 12 3 1()nnnnxxxxx x x xx x x x?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?22221122 3 12 2 2 22 3 11122 3 12 3 1212,nnnnnnnnnxxxxx x x xx x x xxxxxx x x xx x x xx x x????? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ?≥ 于是2222112122 3 1nnnnxxxxx x xx x x x?? ? ? ? ? ? ?≥ .
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鄂ICP備17016276號-1