二維形式的柯西不等式大全-wenkub.com
2025-07-23 13:38 本頁(yè)面
【正文】 注：這里是利用其取等號(hào)的充分必要條件來(lái)達(dá)到目的 分析：我們利用 9 與 2 這兩個(gè)常數(shù)進(jìn)行巧拆， 9=? ?2111??，? ? ? ? ? ? ? ?2 a b c a b b c c a? ? ? ? ? ? ? ?這樣就給我們利用柯西不等式提供了條件。????????1a － b＋1b － c≥ 4 ， ∴ n ≤ 4. 求函數(shù) 的最大值 5 1 1 0 2y x x? ? ? ?例 1. 222 3 1 , 4 9 , .x y x y? ? ?若 求 的 最 小 值 并 求 最 小 值 點(diǎn)引： 的最大值求滿足設(shè)實(shí)數(shù)zyxSzyxzyx32,332, 222??????例 2. 變 式題 已知實(shí)數(shù) m ， n 0. (1) 求證 ：a2m＋b2n≥( a ＋ b )2m ＋ n； (2) 已知函數(shù) y ＝2x＋91 － 2 x， x ∈??????0 ，12， 求它的最小值 ． 【思路】 構(gòu)造符合柯西不等式的平方和 ． 【解答】 (1) 因?yàn)?m ， n 0 ， 利用柯西不等式 ， 得 ( m＋ n )34 2即 tan x ＝ 177。 x － 1 ＝ 5 試證 (a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3) 證 明 根據(jù)柯西不等式，有(a4+b4)(a2+b2)≥(a2a+b2b)2=(a3+b3)2 反思 在證明不等式時(shí)，聯(lián)系經(jīng)典不等式，既可以啟發(fā)證明思路，又可以簡(jiǎn)化運(yùn)算 . ? ?? ? ? ? .,23322441babababa????證明為實(shí)數(shù)已知例.,雜的計(jì)算就可以避免繁式的一致性形式與柯西不等不等式的注意到這個(gè)但是如果它們?nèi)欢俦容^開(kāi)上式的兩邊法展可以作乘雖然分析? ?? ?? ? ? ? .,2332222244babbaababa????????有根據(jù)柯西不等式證明.,.,工具數(shù)學(xué)研究的有力經(jīng)典不等式是以所可以簡(jiǎn)化運(yùn)算又啟發(fā)證明思路既可以典不等式聯(lián)系經(jīng)不等式時(shí)在證明本例說(shuō)明?, dcba中的式別對(duì)應(yīng)柯西不等個(gè)數(shù)分中哪例 41① 隨堂練習(xí) 1. 3 5 4 6y x x? ? ? ?求 函 數(shù) 的 最 大 值 .? ?? ? ? ?225 6 0.3 5 4 63 4 5 6 5.yy x xxx?? ? ? ?? ? ? ? ? ?解 ： 函 數(shù) 定 義 域 為 ， ， 且222. 2 3 6, 2 11 .x y x y? ? ? ?已 知 求 證? ?22223 6 ,142 2 3 1 1 .232 1 1 .yx y x yxy????? ? ? ? ???????證 明 ： 因 為 2x所 以因 此 函數(shù) y ＝ 5 x － 1 ＋ 10 － 2 x 的最大值為 ____________ ． 【思路分析】 將其配湊成柯西不等式的形式，然后用它求解，但要注意等號(hào)成立的條件． 求特定函數(shù)的極值問(wèn)題 【解析】 函數(shù)定義域?yàn)?[ 1,5] ，且 y 0. ∴ y ＝ 5有些不等式不僅形式優(yōu)美而且具有重要的應(yīng)用價(jià)值，人們稱它們?yōu)榻?jīng)典不等式 . 如均值不等式 : 1212( , 1 , 2 , , )n nnia a aa a a a R i nn?? ? ? ??≥. 本節(jié) , 我們來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上兩個(gè)有名的經(jīng)典不等式 : 柯西不等式與排序不等式 , 知道 它 的 意義 、背景 、 證明 方法及 其 應(yīng)用 ， 感受 數(shù)學(xué) 的 美妙 ， 提高 數(shù)學(xué) 素養(yǎng) . 二維形式的柯西不等式 思考 : 閱讀課本第 31 頁(yè)探究?jī)?nèi)容 . 設(shè) 為任意實(shí)數(shù) . , , ,a b c d( ) ( )2 2 2 2??a b c d聯(lián) 想 由 22 2a b a b? ≥ 兩 個(gè) 實(shí)數(shù) 的 平 方 和 與 乘 積的 大小 關(guān)系 , 類(lèi) 比 考慮 與 下 面 式 子 有 關(guān) 的 有 什么 不 等 關(guān)系 : 發(fā)現(xiàn)定理 : 定理 1( 二維形式的柯西不等式 ) 若 , , ,a b c d 都是實(shí)數(shù) , 則 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )a b c d a c b d? ? ?≥.當(dāng)且僅當(dāng) a d b c? 時(shí) , 等號(hào)成立 . 思考解答 變形 你能簡(jiǎn)明地寫(xiě)出這個(gè)定理的證明？ 運(yùn)用這個(gè)定理 , 我們可以解決以前感覺(jué)棘手的問(wèn)題 . 思考
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1