選修45第三節(jié)柯西不等式與算術(shù)—幾何平均不等式(編輯修改稿)
2024-08-28 17:13 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 2 2 2491 5 ( ) [ ( 1 ) ( 2 4 ) ( 3 9 ) ]1 2 4 3 9xyzu x y zx y z? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?2)32( zyx ???=1 ， ∴ 115u ?． 當(dāng) 231 2 4 3 9x y zx y z??? ? ?，即 1 1 3,1 4 7 1 4x y z? ? ?時(shí)，m in115u ?． 1 ．求函數(shù) y ＝ 4 x －92 － 4 x( x ＞12) 的最小值． 解： y ＝ 4 x －92 － 4 x＝ 4 x ＋94 x － 2＝ 4 x － 2 ＋94 x － 2＋ 2 ， ∵ x ＞12， ∴ 4 x － 2 ＞ 0 ， ∴ y ≥ 2 9 ＋ 2 ＝ 8 ， 當(dāng)且僅當(dāng) 4 x － 2 ＝94 x － 2時(shí)， “ ＝ ” 成立． 故所求函數(shù)的最小值為 8. 2 ．已知 a ， b ， c 為正實(shí)數(shù)，求1a3 ＋1b3 ＋1c3 ＋ abc 的最小值． 解： 因?yàn)?a ， b ， c 為正實(shí)數(shù)，由平均不等式可得 1a3 ＋1b3 ＋1c3 ≥ 331a3 1b3 1c3 ， 即1a3 ＋1b3 ＋31c≥3abc. 所以1a3 ＋1b3 ＋1c3 ＋ abc ≥3abc＋ abc . 而3abc＋ abc ≥ 2 3abc abc ＝ 2 3 . 所以1a3 ＋1b3 ＋1c3 ＋ abc ≥ 2 3 ，當(dāng)且僅當(dāng) a ＝ b ＝ c 時(shí)等號(hào)成立． ∴1a3 ＋1b3 ＋1c3 ＋ abc 的最小值為 2 3 3 ．已知關(guān)于 x 的不等式 2 x ＋2x － a≥ 7 在 x ∈ ( a ，＋ ∞ ) 上恒成 立，試求實(shí)數(shù) a 的最小值． 解： ∵ 2 x ＋2x － a＝ 2( x － a ) ＋2x － a＋ 2 a ≥ 4 ＋ 2 a ， ∴ 7 ≤ 4 ＋ 2 a ∴ a ≥32， ∴ amin＝32 4. 實(shí)數(shù) x,y滿足 xy0,且 x2y=4,求 xy+x2的最小值 . 33322 2 2222222344422: xy 0 , x y 4 ,y 0 , x 0.xy x x x223 4 .223xx3x 4., x , xy xxxxxx x x xx? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????????解當(dāng) 且 僅 當(dāng) 即 時(shí) 取 得 最 小 值 2022年浙江省樣卷 二、 高 考 考題 解 析 1 ． (2022 遼寧沈陽 ) 已知實(shí)數(shù) x ， y 滿足1x2 ＋1y2 ＝ 1 ， 求 x2＋ 2 y2的最小值． 解： 法一： 由題意知， x2＋ 2 y2＝ ( x2＋ 2 y2)??????1x2 ＋1y2 ＝ 3 ＋2 y2x2 ＋x2y2 ≥ 3 ＋ 2 2 ，當(dāng)且僅當(dāng)x2y2 ＝2 y2x2 時(shí)，等號(hào)成立． 法二 ：??????1x2 ＋1y2 ( x2＋ 2 y2) ≥ (1x x ＋1y 2 y )2＝ (1 ＋ 2 )2＝ 3 ＋ 2 2 . 2 ． (2022 福建龍巖質(zhì)檢 ) 已知 a ， b ， c ∈ (0 ，＋ ∞ ) ，且1a ＋2b＋3c＝ 2 ，求 a ＋ 2 b ＋ 3 c 的最小值及取得最小值時(shí) a ， b ， c 的 值． 解： (1a＋2b＋3c)( a ＋ 2 b ＋ 3 c ) ＝ [( 1a)2＋ ( 2b)2＋ ( 3c)2][( a )2＋ ( 2 b )2＋
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