柯西-西瓦茲不等式的推廣與應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-25 20:25 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 一元二次方程只有0解或者無(wú)解得條件為所以得： 即即柯西西瓦茲不等式在一個(gè)歐氏空間里，對(duì)于任意的 有不等式 當(dāng)且僅當(dāng)與線性相關(guān)時(shí)，等號(hào)成立.這個(gè)不等式用于歐氏空間中，對(duì)于任意的 則有這是柯西不等式。不等式用于歐氏空間中，對(duì)于任意,有 ，則命題可敘述為:設(shè) 是一個(gè)歐氏空間，則對(duì) 有，當(dāng)且僅當(dāng)與 線性相關(guān)時(shí)，等號(hào)成立.下面將此命題推廣得：設(shè) 是一個(gè)歐氏空間，是的任意一個(gè)向量組，則 的行列式當(dāng)且僅當(dāng) 線性相關(guān)時(shí)，等號(hào)成立.證明：設(shè)線性相關(guān)，則存在不全為0的數(shù) 使 因?yàn)椋词且? 不全為零，即上式有非零解所以若線性無(wú)關(guān)，由可得出 的正交組 且，其中顯然 ，所以可逆，于是向量組 與 等價(jià)，它們生成相同的子空間是的基， 是的正交基可設(shè)由坐標(biāo)變換公式 其中 則 由于 的任意性，知，所以 應(yīng)用于歐氏空間 中，可以使一些較復(fù)雜的不等式的證明顯得十分簡(jiǎn)單。例31．證明：證明：取由柯西西瓦茲不等式易知 整理得：例32．若都是正數(shù)，又（常數(shù)）求證：證明：設(shè)根據(jù)不等式（）得：即：兩邊平方就可得：例33．已知: 求證: 證明：構(gòu)造向量所以 根據(jù)（）式得：例34．設(shè)且,求證：證明：構(gòu)造向量可得： 根據(jù)（）式可得：例35．平面，()點(diǎn)式平面外一點(diǎn)。求證：點(diǎn) 到平面的距離是證明：設(shè)為平面上的任一點(diǎn)，構(gòu)造向量，可得： 根據(jù)（）式，則有由于平面上任意一點(diǎn)與定點(diǎn)之間的最短距離就是點(diǎn)到平面的距離，因而點(diǎn) 到平面的距離為 求證：證明：構(gòu)造向量可得： 根據(jù)（）式可得：， 求 的最小值.解：構(gòu)造向量 可得： 根據(jù)（）式得：則即 的最小值為.柯西西瓦茲不等式在概率空間中的推廣與應(yīng)用定義：取為概率空間，對(duì)任意屬于的隨機(jī)變量與 都有 （） 等號(hào)成立的充要條件是，是某一常數(shù)。證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)，定義顯然對(duì)于一切，因此二次方程或者沒有實(shí)數(shù)根或者只有一個(gè)重根。所以 方程 有一個(gè)重根存在的充要條件是這時(shí) 因此
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