柯西施瓦茨不等式的四種不同形式的內(nèi)在聯(lián)系_畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-10-04 13:03 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 nn? ? ? ? ? ??… … 證明： 取 12( ) , (1 , 1 , , 1 )na a a??? ? ? ? ?… …由柯西施瓦茨不等式得 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2( ) | ( , ) | | | | | = ( 1 + 1 + + 1 ) ( + + + )nna a a a a a? ? ? ?? ? ? ? ?… … … 整理得： 2 2 21 2 1 2nna a a a a ann? ? ? ? ? ??… … 用于求最值 例 6. 已知 2 2 21 , ( , , ) 2 3x y z f x y z x y z? ? ? ? ? ?求 的最小值。 解： 構(gòu)造向量 11( , , 1 ) , ( 2 , 3 , )23 x y z???? 可得： 2 2 21 1 1 1| | 1 , | | 2 32 3 6 x y z??? ? ? ? ? ? ? 11( , ) ( 2 ) ( 3 ) 1 123x y z x y z?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由柯西施瓦茨不等式得： 2 2 2111 ( 1 ) ( 2 3 )23 x y z? ? ? ? ? ? 則 2 2 2 11( , , ) 2 3 6f x y z x y z? ? ? ? 即 2 2 2( , , ) 2 3f x y z x y z? ? ?的最小值為 116 . 7 用于證明三維空間中點(diǎn)到面的距離公式 例 7. 已知 0 0 0( , , )P x y z 為三維空間中的一點(diǎn)，平面 : 0 ,A x B y C z D? ? ? ? ?求點(diǎn)P ?到 平 面 的 距 離 . 解： 設(shè) ( , , )M x y z 為平面 ? 上 的 任 意 一 點(diǎn) ， 則 2 2 20 0 0| | ( ) ( ) ( ) ,P M x x y y z z? ? ? ? ? ? 又因?yàn)橛煽挛魇┩叽牟坏仁接? 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0[ ( ) ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ( ) ]x x y y z z A B C A x x B y y C z z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 20 0 0[ ( ) ( ) ]A x B y C z A x B y C z? ? ? ? ? ? 20 0 0[ ( )]D A x B y C z? ? ? ? ? 20 0 0()Ax By C z D? ? ? ? 所以 2 2 2 0 0 00 0 0 2 2 2||| | ( ) ( ) ( ) ,A x B y C z DP M x x y y z z A B C? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)0 0 0 ,x x y y z zA B C? ? ???即 PM ?? 時(shí)成立。 又由距離的定義可知點(diǎn) P ?到 平 面 的 距 離為 0 0 0m i n 2 2 2|||| A x B y C z Dd P M A B C? ? ??? ??。 數(shù)學(xué)分析中的 CauchySchwarz 不等式 定理 定理 [2]（積分學(xué)中的柯西 — 施瓦茨不等式） 設(shè) ( ), ( )f x g x 在 ? ?,ab 上可積，則 2 22( ) ( ) ( ) ( )b b ba a af x g x d x f x d x g x d x?? ??????? ? ?. 證法 1 通過建立輔助函數(shù)來證明 作函數(shù) 2 22( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x xa a aF x f t g t d t f t d t g t d t??? ? ?????? ? ?，由定積分的性質(zhì)得 8 39。 2 2 2 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x xa a aF x f t g t dt f x g x f x g t dt g x f t dt? ? ? ? ?? ? ? = 2 2 2 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x xa a af x g x f t g t dt f x g t dt f t g x dt??? ? ? = ? ?2( ) ( ) ( ) ( ) 0xa f x g t f t g x d t? ? ?? 故 ()Fx在 ? ?,ab 上單調(diào)遞減，即 ( ) ( ), ( )F b F a a b?? 而 ( ) 0,Fa? 故 ( ) 0Fb? ，即 2 22( ) ( ) ( ) ( ) 0b b ba a af t g t d t f t d t g t d t?? ? ? ?????? ? ?不等式成立。 注： 此證法的關(guān)鍵在于將 b 變成 x 而構(gòu)建輔助函數(shù)，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化成利用函數(shù)單調(diào)性來證明不等式。此外也可以類似定理 構(gòu)建一元二次函數(shù)來求證。 證法 2 通過構(gòu)造積分不等式來證明 因?yàn)?( ), ( )f x g x 在 ? ?,ab 上可積，所以 22( ) , ( ) , ( ) ( )f x g x f x g x?都可積，且對(duì)任何實(shí)數(shù) 2,[ ( ) ( )]t tf x g x? 也可積，又 2[ ( ) ( )] 0,tf x g x??故 2[ ( ) ( )] 0ba tf x g x dx???，即2 2 2 2[ ( ) ( ) ] ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0b b b ba a a atf x g x dx t f x dx t f x g x dx g x dx? ? ? ? ?? ? ? ? 由此推得關(guān)于 t 的二次三項(xiàng)式的判別式非正，即2 2 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) 0b b ba a af x g x dx f x dx g x dx? ? ?? ? ? 故 2 2 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )b b ba a af x g x dx f x dx g x dx??? ? ?. 注： 此法的關(guān)鍵在于構(gòu)造積分不等式 2[ ( ) ( )] 0ba tf x g x dx???，展開求關(guān)于 t 的判別式，這就將問題轉(zhuǎn)化成了關(guān)于 t 的二次三項(xiàng)式有無根的問題。 證法 3 通過利用定積分的定義來證明 因?yàn)?( ), ( )f x g x 在 ? ?,ab 上可積，所以 22( ), ( ), ( ) ( )f x g x f x g x都可積，對(duì)區(qū)間 ? ?,ab 進(jìn)行 n 等分，分為 , 0 , 1 , 2 , .i bax a i i nn?? ? ? … ,由定積分的定義得 1( ) ( ) l i m ( ) ( )nbiia n i baf x g x d x f x g x n?? ? ?? ?? 221( ) l i m ( )nbia n i baf x d x f x n?? ? ?? ?? 9 221( ) l i m ( )nbia n i bag x d x g x n?? ? ?? ?? 因?yàn)?2 2 21 1 1[ ( ) ( ) ] ( ) ( )n n ni i i ii i ib a b a b af x g x f x g xn n n? ? ?? ? ???? ? ?， 故 2 2 21 1 1[ l i m ( ) ( ) ] [ l i m ( ) ] [ l i m ( ) ]n n ni i i in n ni i ib a b a b af x g x f x g xn n n? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? 即 2 22( ) ( ) ( ) ( )b b ba a af x g x d x f x d x g x d x?? ??????? ? ?. 注： 此證法的關(guān)鍵在于應(yīng)用“分割，近似求和，取極限”的思想方法 . 證法 4 通過利用二重積分的知識(shí)來證明 [3] 令 2( , ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]bbaaF x y dx f x g y f y g x dy???? = 2 2 2 2[ ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]bbaadx f x g y f x g x f y g y f y g x dy???? 2 2 2 2
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