【正文】 年 級 學生姓名 學 號 指導(dǎo)教師 二○ 年 月 （宋體三號加 黑） 華中師范大學 學位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下獨立進行研究工作所取得的研究成果。此外，本文還給出了柯西施瓦茨不等式的四種不同形式的內(nèi)在聯(lián)系。 當 0?? 時，由于 ( ) 0fx? 成立，則 22 , 4 , , 0 ,? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? 等號當且僅當 k??? 時成立，即 2, , , .? ? ? ? ? ?? 不等式得證。 數(shù)學分析中的 CauchySchwarz 不等式 定理 定理 [2]（積分學中的柯西 — 施瓦茨不等式） 設(shè) ( ), ( )f x g x 在 ? ?,ab 上可積，則 2 22( ) ( ) ( ) ( )b b ba a af x g x d x f x d x g x d x?? ??????? ? ?. 證法 1 通過建立輔助函數(shù)來證明 作函數(shù) 2 22( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x xa a aF x f t g t d t f t d t g t d t??? ? ?????? ? ?，由定積分的性質(zhì)得 8 39。 解： 設(shè) 21( , ) ( ) ,niQ a b a bt y?? ? ??這里 2211( , ) ( ) ( )nniiiiQ a b a b t y a b t y??? ? ? ? ? ??? 令12 ( ) 1 0 ,niQ a b t ya?? ? ? ? ? ?? ? 212 ( ) 0niQ a b t y tb?? ? ? ? ? ?? ? 整理得 1121 1 1nniin n ni i iy na b tty a t b t??? ? ?? ?????? ??????? ? ?消去 221 1 1 1 1, ( )n n n n ni i i i ia n t t b n t y t y? ? ? ? ???? ? ?????? ? ? ? ? 由柯西施瓦茨不等式得 2 2 2 21 1 1 11 ( 1 )n n n ni i i in t t t? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，故 2211) 0,nniin t t??????等號成立當且僅當121 1 1nt t t? ? ?…. 又由于 t 為時間變量 ，故 12 nt t t? ? ?… ，所以 2211( ) 0nniin t t?????? 故1 1 1221111()n n ni i inniinniin ty t ybn t ty b tan? ? ????????? ?? ????? ?? ???? ? ????? 13 用于判斷極值是否存在 例 11. 證明 21( , ) ( ) ,niQ a b a bt y?? ? ??存在極小值。 當定義內(nèi)積 , ( )E? ? ??? ，若 ,??為隨機變量，取 ,? ? ? ???，則由2, , ,? ? ? ? ? ?? 得 2 2 2[ ( ) ] ( ) ( )E E E?? ? ???，即為柯西施瓦茨不等式在概率空間的表現(xiàn)形式。 1 1 1 1. . . ( , . . . , , . . . ) , ( , . . . , , . . . )n n n na b a b a a b b? ? ? ?? ? ? ? ? 當 定 義 內(nèi) 積 ， +... ， 其 中 2 2 2 2 2 21 1 1 1, , , ( .. . .. .) ( .. .) ( .. .) ,n n n na b a b a a b b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?則… … 即為柯西施瓦茨不等式在數(shù)學分析 數(shù)項級數(shù)上的表現(xiàn)形式。 定理（數(shù)項級數(shù)的柯西 — 施瓦茨不等式） 若級數(shù) 22nnab??和 收斂，則級數(shù) nnab? 收斂，且 2 2 2()n n n na b a b??? ? ?. 10 證明： 由于 22nnab??和 收斂，則有 22()nnab?? 收斂，而 221| | ( )2n n n na b a b??， 故nnab? 絕對收斂 . 由定理 中的 2 2 21 1 1( ) .n n ni i i ii i ia b a b? ? ??? ? ?可知當令 n?? 取極限時，2( ) .n n n na b a b?? ? ?即為所要證明的不等式 . 應(yīng)用 用于證明不等式 例 8. 若 ( ), ( )f x g x 都在在 ? ?,ab 上可積，則有 閔可夫斯基（ Minkowski） 不等式： 1 1 12 2 22 2 2[ ( ( ) ( ) ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]b b ba a af x g x d x f x d x g x d x? ? ?? ? ? 證明： 由柯西施瓦茨不等式得 2 2 2( ( ) ( ) ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )b b b ba a a af x g x dx f x dx f x g x dx g x dx? ? ? ?? ? ? ? 12 2 2 22( ) 2 [ ( ) ( ) ] ( )b b b ba a a af x d x f x d x g x d x g x d x? ? ? ?? ? ? ? 112 2 222[ ( ( ) ) ( ( ) ) ]bbaaf x d x g x d x???? 故 1 1 12 2 22 2 2[ ( ( ) ( ) ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]b b ba a af x g x d x f x d x g x d x? ? ?? ? ? 概率空間中的 CauchySchwarz 不等式 定理 [4] 設(shè) ??， 為任意隨機變量，若 22( ), ( )EE??存在，則 ()E?? 也存在， 且 2 2 2[ ( ) ] ( ) ( )E E E?? ? ???，等號成立當且僅當存在常數(shù) 0t ，使得 0{ } 1Pt???? 證明：構(gòu)造二次 函數(shù) 定義任意實數(shù) t 的二次函數(shù)為 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )u t E t E t E t E? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 因為對一切 t ，必然有 2( ) 0t????，從而有 () 0,ut? 于是方程 () 0ut? 要么無實根， 要么有一個實根，即重根，則判別式非正，從而 2 2 2[ ( ) ] ( ) ( ) 0E E E?? ? ?? ? ?， 即 2 2 2[ ( ) ] ( ) ( )E E E?? ? ???. 11 當?shù)忍柍闪ⅲ匠?() 0ut? 有一個重根 0t ，使 20( ) 0Et????， 從而 2 2 20 0 0 0( ) ( ) ( ( ) ) ( ) 0D t E t E t E t? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 即 0( ) 0,Dt????且 0( ) 0Et????，于是 00{ 0 } 1 , { } 1P t P Y t X??? ? ? ? ?且 反之，若存在常數(shù) 0t ，使得 0{ } 1Pt????成立，即 0{ 0} 1,Pt??? ? ? 從而 2 2 200{ 0 } 1 , { ( ) 0 } 1P t P t? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 于是 2 2 2 200{ } 0 , { } 0E t E t? ? ?? ?? ? ? ? 即 2 2 2 2( ) ( ) , ( ) ( )E t E E t E? ? ?? ???且 故 2 2 2 2 2 2 2 2 200[ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )E t E t E E E E? ? ? ? ? ? ?? ? ? 即在 2 2 2[ ( ) ] ( ) ( )E E