柯西施瓦茨不等式的四種不同形式的內(nèi)在聯(lián)系_畢業(yè)論文-資料下載頁
2024-08-29 13:03本頁面
【導(dǎo)讀】取得的研究成果。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他。個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。本人完全意識到本聲明的法律后果由本。本人授權(quán)省級優(yōu)秀學(xué)士學(xué)位論文評選機(jī)構(gòu)將本學(xué)位論文的全部或部分。析、概率空間四個(gè)不同分支的表現(xiàn)形式，并簡單說明了其在各個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用，的相關(guān)系數(shù)、判斷極值的存在性。此外，本文還給出了柯西施瓦茨不等式的四種。不同形式的內(nèi)在聯(lián)系。
【正文】 ? ?，故 2211) 0,nniin t t??????等號成立當(dāng)且僅當(dāng)121 1 1nt t t? ? ?…. 又由于 t 為時(shí)間變量 ，故 12 nt t t? ? ?… ，所以 2211( ) 0nniin t t?????? 故1 1 1221111()n n ni i inniinniin ty t ybn t ty b tan? ? ????????? ?? ????? ?? ???? ? ????? 13 用于判斷極值是否存在 例 11. 證明 21( , ) ( ) ,niQ a b a bt y?? ? ??存在極小值。 證明： 因?yàn)?2 ( ) 1niQ a bt ya?? ? ? ? ?? ? 212 ( )niQ a bt y tb?? ? ? ? ?? ? 求二階偏導(dǎo)得 2 2 22221 1 12 1 2 , 2 , 2n n ni i iQ Q Qn t ta b a b? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 因?yàn)?2 2 22 2 2 2 222 1 1 1 1( ) ( 2 ) 2 ( 2 ) 4 ( )n n n ni i i iQ Q Q t n t t n ta b a b? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? 由柯西施瓦茨不等式得 2211( ) 0nniin t t?????? 所以 2 2 22 2 222 11( ) 4 ( ) 0nniiQ Q Q t n ta b a b??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???? 又 22 12 1 2 0 ,niQ na?? ? ? ?? ? 故 21( , ) ( )niQ a b a bt y?? ? ??存在極小值。 從以上兩個(gè)例子可以看出柯西施瓦茨不等式在求方程系數(shù)和判斷極值中起了補(bǔ)充說明的作用，增強(qiáng)了預(yù)測模型的準(zhǔn)確性、科學(xué)性、嚴(yán)密性 [5]。 3． CauchySchwarz 不等式四種形式的內(nèi)在聯(lián)系 證明 方法的相似性 以上我們介紹了柯西施瓦茨不等式在實(shí)數(shù)域、 n 維歐式空間、數(shù)學(xué)分析、概率空間四個(gè)不同分支的表現(xiàn)形式，并簡單說明了其在各個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用，盡管這四種表現(xiàn)形式涉及到不同的數(shù)學(xué)對象，證明方法各自也呈現(xiàn)出多樣化，但是我們發(fā)現(xiàn)，這四種種形式在證明方法上都可以通過構(gòu)造二次函數(shù)或者二次不等式（本質(zhì)都是通過判別式對根的情況進(jìn)行判斷）來進(jìn)行統(tǒng)一的證明。 如： 在實(shí)數(shù)域中 令 2 2 2 21 1 1 1( ) ( ) ( ) 2 ( ) 0n n n ni i i i i ii i i if x a x b a x a b x b? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 14 在 n 維歐式空間中 令 2( ) , , 2 , , 0 .f x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 在微積分中 令 2 2 2 2( ) [ ( ) ( ) ] ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0b b b ba a a aF t t f x g x dx t f x dx t f x g x dx g x dx? ? ? ? ? ?? ? ? ? 在概率空間中 令 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0u t E t E t E t E? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 從以上各式可看出都是通過構(gòu)造二次函數(shù)或二次不等式，利用判別式 0?? 進(jìn)行求證。 內(nèi)在之間的互推性 [6] 從“分析”的角度： 定理 連 續(xù) 性離 散 性定理 從 “代數(shù)”的角度：本質(zhì)上是一致的，如： 1）若在向量空間 nR 中取 1 2 1 2( , , , ) , ( , , , )nna a a b b b????… …， 定義內(nèi)積1,niii ab?? ???，則 定理 ?定理 2）若在空間 [ , ]Cab 取 ( ), ( )f x g x????， 定義內(nèi)積 , ( ) ( )ba f x g x dx?? ? ?，則 定理 ?定理 從“測度論”的角度： 1） 若選取離散型隨機(jī)變量 1 2 1 2~ , ( ) ~1 1 1 1 1 1nna a a b b bfn n n n n n? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?… …… … 則 2 2 2 21 1 11 1 1,n n ni i i ii i iE a E b E a bn n n? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?，故 定理 ?定理 2） 若選取連續(xù)性隨機(jī)變量 ~ [ , ] , ( ) , ( ) [ , ] ,U a b f x g x C a b? ?則 2 2 2 21 1 1( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ,b b ba a aE f f x d x E g g x d x E f g f x g x d xb a b a b a? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?故 定理 ?定理 15 四種形式的本質(zhì)是內(nèi)積在不同的（賦范）空間的表現(xiàn)形式 1 1 2 2 1 2 1 2. . . ( , , . . . , ) , ( , , . . . , )n n n na b a b a b a a a b b b? ? ? ?? ? ? ? ? ? 當(dāng) 定 義 內(nèi) 積 ， ， 其 中2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2, , , ( .. . ) ( .. . ) ( .. . ) ,n n n na b a b a b a a a b b b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?則即為柯西施瓦茨不等式在實(shí)數(shù)域和 n 維歐式空間的表現(xiàn)形式。 1 1 1 1. . . ( , . . . , , . . . ) , ( , . . . , , . . . )n n n na b a b a a b b? ? ? ?? ? ? ? ? 當(dāng) 定 義 內(nèi) 積 ， +... ， 其 中 2 2 2 2 2 21 1 1 1, , , ( .. . .. .) ( .. .) ( .. .) ,n n n na b a b a a b b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?則… … 即為柯西施瓦茨不等式在數(shù)學(xué)分析 數(shù)項(xiàng)級數(shù)上的表現(xiàn)形式。 當(dāng)定義內(nèi) 積 ,ba dx? ? ????其中 ,??是關(guān)于 x 在 [, ]ab 上的連續(xù)函數(shù)，則取22 2 2( ) , ( ) , , ,[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ,b b ba a af x g xf x g x dx f x dx g x dx? ? ? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ?時(shí) ， 由 得 即為柯西施瓦茨不等式在數(shù)學(xué)分析積分學(xué)中的表現(xiàn)形式。 當(dāng)定義內(nèi)積 , ( )E? ? ??? ，若 ,??為隨機(jī)變量，取 ,? ? ? ???，則由2, , ,? ? ? ? ? ?? 得 2 2 2[ ( ) ] ( ) ( )E E E?? ? ???，即為柯西施瓦茨不等式在概率空間的表現(xiàn)形式。 因此，柯西施瓦茨不等式的四種形式 是內(nèi)積在不同的（賦范）空間的表現(xiàn)形式。 16 參考文獻(xiàn)： [1]樊惲，劉宏偉 ,線性代數(shù)與解析幾何教程（下冊） [M]. 北京：科學(xué)出版 社， 2020. [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析（上冊，第三版） [M]，北京：高等 出版社， 2020（ 2020 重?。? [3]付英貴，關(guān)于柯西施瓦茨不等式證明 [J].西南科技大學(xué)《高教研究》， 2020,93（ 4）： 89 [4]李賢平，概率論基礎(chǔ)（第三版） [M].北京：高等出版社， 2020. [5] 常廣平，李林衫，劉大蓮 .利用 CauchySchwarz 不等式估計(jì)回歸系數(shù) [J] 北京聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)， 22:4(2020),7778. [6]張千祥 .柯西不等式的教學(xué)價(jià)值 [J].大學(xué)數(shù)學(xué)， 2020(2):116118.
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