柯西不等式各種形式的證明及其應(yīng)用-資料下載頁
2025-06-23 14:37本頁面
【正文】 0。=yiy，則，229。ab229。a229。br=niii=1nn22iii=1i=1，由柯西不等式有，r163。1229。(ab)=229。a229。b22當r=1時，nnn2iiiii=1i=1i=1(yiy)=bi此時，(xix)ai=k，k為常數(shù)。點(xi,yi)i=1,2Ln均在直線yy=k(xx)上，r229。(ab)174。229。ai2229。bi2當r174。1時，nnn2iii=1i=1i=1229。(aibi)229。ai2229。bi2174。0229。(aibi)229。ai2229。bi2=229。(aibjajbi)2即而nnn2i=1i=1i=1nnn2i=1i=1i=11163。i163。j163。najbi)174。0222。aibjajbi174。0b229。(aij1163。i163。j163。n2222。biai174。k,k為常數(shù)。(yiy)=bi此時，此時，(xix)ai=k，k為常數(shù)關(guān)于不等式(a+b)(c+d)179。(ac+bd)的幾何背景點(xi,yi)均在直線yy=k(xx)附近，所以r越接近于1，相關(guān)程度越大當r174。0時，(ai,bi)不具備上述特征，從而，找不到合適的常數(shù)k，使得點(xi,yi)都在直線yy=k(xx)附近。所以，r越接近于0，則相關(guān)程度越小。2 2 2 2 2幾何背景：如圖，在三角形OPQ中，P(a,b),Q(c,d),208。QOP=q，則OP=a2+b2,OQ=c2+d2,Q（c，d）=OP+OQ2OPOQcosq ，并化簡，可得PQ= (ac)2+(bd)2.P（a，b）將以上三式代入余弦定理PQ222Ocosq=ac+bda2+b2c2+d2或cos2q=(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2).因為0163。cos2q163。1，所以，(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)163。1，于是(a2+b2)(c2+d2)179。(ac+bd)2.柯西不等式的相關(guān)內(nèi)容簡介（1） 赫爾德(Holder)不等式(a1+a2+L+an)(b1+b2+L+bn)179。a1b1+a2b2+L+anbn(p p p p q q q q111p+1q=1)當p=q=2時，即為柯西不等式。因此，赫爾德不等式是柯西不等式更為一般的形式，在分析學(xué)中有著較為廣泛的應(yīng)用。（2） 平面三角不等式（柯西不等式的等價形式）a1+a2+L+an+b1+b2+L+bn179。(a1+b1)2+(a2+b2)2+L+(an+bn)22 2 2 2 2 2可以借助其二維形式a1+a2+b1+b2179。2 2 2 2(a1+b1)2+(a2+b2)2來理解，根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，很容易驗證這一不等式的正確性。該不等式的一般形式111(a1+a2+L+an)+(b1+b2+L+bn) 179。[(a1+b1)+(a2+b2)+L+(an+bn)]nr(x,y)=(229。xiyi).pp p p p p p p p p p p稱為閔可夫斯基（Minkowski）不等式。它是由閔可夫斯基在對n維空間中的對稱凸幾何體定義了一種“距離”的基礎(chǔ)上得到的，即對于點x=(x1,x2,L,xn),y=(y1,y2,L,yn)，定義其距離為1pi閔可夫斯基立足于這一不等式確立了相應(yīng)的幾何，建立了一種類似于現(xiàn)代度量空間的理論，即實變函數(shù)中的賦范空間基礎(chǔ)。這從另一個側(cè)面體現(xiàn)了柯西不等式的豐富數(shù)學(xué)背景。p
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