柯西不等式各種形式的證明及其應(yīng)用-在線瀏覽
2025-08-10 14:37本頁(yè)面
【正文】 +L由平均不等式得+ 2230。x1x2n179。231。231。x1A1A2x230。xn232。A1A2An232。A1A2An1+L+ nA A2 An213。y 246。n230。yLyn231。AA同理可得 1ny1yn179。231。1247。=231。L248。2248。1213。x 246。n230。247。+L231。AA231。AA179。(213。x)n(213。y+L233。n即(A1A2)234。+)n 249。(213。x)n(213。y+L證畢L1230。179。231。 1 2 n 232。248。 ++L++L(xnyn 229。x229。j1229。xji由均值不等式mmj1ni=1ji163。m229。x229。j2229。xji同理有mmj2ni=1ji163。mL213。j=1 njimmjnni=1ji163。m以上各式相加得229。231。213。jk247。163。1229。x248。 246。=j1上式也即229。231。231。213。231。229。x247。247。 246。231。j=1 247。 247。231。jk 247。 247。163。1,該式整理，得：m232。j=1230。m 246。1229。231。213。213。231。229。x247。nx247。248。m233。m246。232。i=1anbn(2)bi1,2Ln)(a1b1a2b2L2b2Lbn2i1：構(gòu)造二次函數(shù)(x)(a1xb1+xb2+(an+)等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)====或=時(shí)成立（ki1,2L）現(xiàn)將它的證明介紹如下：2 2 2=++L+)x+(a1b1a2b2anbn+++L+a1a2+179。0)Q=(a1b1a2b2anbn4++L+)(b12b22bnnf179。0(a1b1a2b2anbn++L+b2+)= 2L= nn1 左式=)右式=)當(dāng)且僅當(dāng)xbi=(i1,n)證明（2）數(shù)學(xué)歸納法2顯然 左式=右式即a1b1b2a2=+)(b12b22(a1b1(a2b2a22b12a12b22當(dāng)n2)+)+=+)=時(shí)等號(hào)成立僅當(dāng)即=即a1b1ab2故=2不等式成立（2）假設(shè)=(kk時(shí)，不等式成立+)163。(a12a22akk++L+)即(a1b1a2b2bikai為常數(shù)，=2L或====時(shí)等號(hào)成立設(shè)===ak2 2 2Ca1b1a2b2+====(Aak+1+ABAb2 2 2k+1 k+1k k+22Cak+1bk+1ak2+1bk2+1(Cak+1bk+1++L++)22 k k k k\(a1a2++)(b12b2++)2當(dāng)=ki1,na1a2Lak0=+11：設(shè)為正數(shù)且互不相等。+a、均為正數(shù) .\為證結(jié)論正確，只需證:+22+ac++2+++9(1+1+1)\只需證:230。1 1 1232。ab bc ac而2++(ab)++(ac)2為證結(jié)論正確，只需證：(abc)231。 +247。=230。1232。ab11bc+248。235。+(bc)++231。230。1 1 1179。(1+1+1)= +232。ab bc ac2b又Qc求某些特殊函數(shù)最值y+3例求函數(shù)的最大值。4y0y3+9x163。+x525*=x=(x0x1(y0y1R,)及直線:++=pl則AxBxC0（1）2 2p1=（2）(A2+185。0)點(diǎn)p2p1就是點(diǎn)到直線的距離，求（2）式有最小值，有(x0x1(y0y1+2179。A)+(y0y1++++)由（1）（2）得：A2B2p2++p2Ax0By0CA2B2（3）當(dāng)且僅當(dāng)(y0y1(x0x1=BAp1^（3）式取等號(hào)p2+
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