【正文】 E?? ? ???式中等號成立。 解： 構(gòu)造向量 11( , , 1 ) , ( 2 , 3 , )23 x y z???? 可得： 2 2 21 1 1 1| | 1 , | | 2 32 3 6 x y z??? ? ? ? ? ? ? 11( , ) ( 2 ) ( 3 ) 1 123x y z x y z?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由柯西施瓦茨不等式得： 2 2 2111 ( 1 ) ( 2 3 )23 x y z? ? ? ? ? ? 則 2 2 2 11( , , ) 2 3 6f x y z x y z? ? ? ? 即 2 2 2( , , ) 2 3f x y z x y z? ? ?的最小值為 116 . 7 用于證明三維空間中點到面的距離公式 例 7. 已知 0 0 0( , , )P x y z 為三維空間中的一點，平面 : 0 ,A x B y C z D? ? ? ? ?求點P ?到 平 面 的 距 離 . 解： 設(shè) ( , , )M x y z 為平面 ? 上 的 任 意 一 點 ， 則 2 2 20 0 0| | ( ) ( ) ( ) ,P M x x y y z z? ? ? ? ? ? 又因為由柯西施瓦茨不等式有 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0[ ( ) ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ( ) ]x x y y z z A B C A x x B y y C z z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 20 0 0[ ( ) ( ) ]A x B y C z A x B y C z? ? ? ? ? ? 20 0 0[ ( )]D A x B y C z? ? ? ? ? 20 0 0()Ax By C z D? ? ? ? 所以 2 2 2 0 0 00 0 0 2 2 2||| | ( ) ( ) ( ) ,A x B y C z DP M x x y y z z A B C? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??等號當(dāng)且僅當(dāng)0 0 0 ,x x y y z zA B C? ? ???即 PM ?? 時成立。 5 維歐氏空間中的 CauchySchwarz不等式 定理 [1] 在 n 維歐氏空間中，對任意向量 ,??有 2, , , ,? ? ? ? ? ?? 其中等號當(dāng)且僅當(dāng) ,??線性相關(guān)時成立。 不保密 □。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi) 容外，本論文不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。 關(guān)鍵詞 ： 柯西施瓦茨不等式 應(yīng)用 內(nèi)在聯(lián)系 Abstract: In this paper, the four different forms of CauchySchwarzinequality are firstly introduced. The four different forms include real number field, n dimensional Euclidean space, mathematical analysis, probability space. Then its applications are showed, which include proving the inequality, finding a solution to the maximum value and minimum value of a function or equations, solving triangle, studying the correlation coefficient on the probability theory, determining the existence of extreme value. In addition, this paper also gives the internal relations of the four different forms of CauchySchwarzinequality. Keywords: CauchySchwarzinequality application internalrelations 2 柯西 施瓦茨 不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西 (Cauchy)在研究數(shù)學(xué)分析中的 “ 流數(shù) ” 問題時得到的。 證法 2 通過利用實向量空間的內(nèi)積的基本性質(zhì)來證明 如果 0 , , 0 , , 0? ? ? ? ?? ? ?故結(jié)論成立。 2 2 2 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x xa a aF x f t g t dt f x g x f x g t dt g x f t dt? ? ? ? ?? ? ? = 2 2 2 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x xa a af x g x f t g t dt f x g t dt f t g x dt??? ? ? = ? ?2( ) ( ) ( ) ( ) 0xa f x g t f t g x d t? ? ?? 故 ()Fx在 ? ?,ab 上單調(diào)遞減，即 ( ) ( ), ( )F b F a a b?? 而 ( ) 0,Fa? 故 ( ) 0Fb? ，即 2 22( ) ( ) ( ) ( ) 0b b ba a af t g t d t f t d t g t d t?? ? ? ?????? ? ?不等式成立。 證明： 因為12 ( ) 1niQ a bt ya?? ? ? ? ?? ? 212 ( )niQ a bt y tb?? ? ? ? ?? ? 求二階偏導(dǎo)得 2 2 22221 1 12 1 2 , 2 , 2n n ni i iQ Q Qn t ta b a b? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 因為 2 2 22 2 2 2 222 1 1 1 1( ) ( 2 ) 2 ( 2 ) 4 ( )n n n ni i i iQ Q Q t n t t n ta b a b? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? 由柯西施瓦茨不等式得 2211( ) 0nniin t t?????? 所以 2 2 22 2 222 11( ) 4 ( ) 0nniiQ Q Q t n ta b a b??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???? 又 22 12 1 2 0 ,niQ na?? ? ? ?? ? 故 21( , ) ( )niQ a b a bt y?? ? ??存在極小值。 因此，柯西施瓦茨不等式的四種形式 是內(nèi)積在不同的（賦范）空間的表現(xiàn)形式。 內(nèi)在之間的互推性 [6] 從“分析”的角度： 定理 連 續(xù) 性離 散 性定理 從 “代數(shù)”的角度：本質(zhì)上是一致的，如： 1）若在向量空間 nR 中取 1 2 1 2( , , , ) , ( , , , )nna a a b b b????… …， 定義內(nèi)積1,niii ab?? ???，則 定理 ?定理 2）若在空間 [ , ]Cab 取 ( ), ( )f x g x????， 定義內(nèi)積 , ( ) ( )ba f x g x dx?? ? ?，則 定理 ?定理 從“測度論”的角度： 1） 若選取離散型隨機(jī)變量 1 2 1 2~ , ( ) ~1 1 1 1 1 1nna a a b b bfn n n n n n? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?… …… … 則 2 2 2 21 1 11 1 1,n n ni i i ii i iE a E b E a bn n n? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?，故 定理 ?定理 2） 若選取連續(xù)性隨機(jī)變量 ~ [ , ] , ( ) , ( ) [ , ] ,U a b f x g x C a b? ?則 2 2