柯西施瓦茨不等式的四種不同形式的內(nèi)在聯(lián)系_畢業(yè)論文-wenkub.com
2024-08-25 13:03 本頁面
【正文】 因此，柯西施瓦茨不等式的四種形式 是內(nèi)積在不同的（賦范）空間的表現(xiàn)形式。 內(nèi)在之間的互推性 [6] 從“分析”的角度： 定理 連 續(xù) 性離 散 性定理 從 “代數(shù)”的角度：本質(zhì)上是一致的，如： 1）若在向量空間 nR 中取 1 2 1 2( , , , ) , ( , , , )nna a a b b b????… …， 定義內(nèi)積1,niii ab?? ???，則 定理 ?定理 2）若在空間 [ , ]Cab 取 ( ), ( )f x g x????， 定義內(nèi)積 , ( ) ( )ba f x g x dx?? ? ?，則 定理 ?定理 從“測度論”的角度： 1） 若選取離散型隨機(jī)變量 1 2 1 2~ , ( ) ~1 1 1 1 1 1nna a a b b bfn n n n n n? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?… …… … 則 2 2 2 21 1 11 1 1,n n ni i i ii i iE a E b E a bn n n? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?，故 定理 ?定理 2） 若選取連續(xù)性隨機(jī)變量 ~ [ , ] , ( ) , ( ) [ , ] ,U a b f x g x C a b? ?則 2 2 2 21 1 1( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ,b b ba a aE f f x d x E g g x d x E f g f x g x d xb a b a b a? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?故 定理 ?定理 15 四種形式的本質(zhì)是內(nèi)積在不同的（賦范）空間的表現(xiàn)形式 1 1 2 2 1 2 1 2. . . ( , , . . . , ) , ( , , . . . , )n n n na b a b a b a a a b b b? ? ? ?? ? ? ? ? ? 當(dāng) 定 義 內(nèi) 積 ， ， 其 中2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2, , , ( .. . ) ( .. . ) ( .. . ) ,n n n na b a b a b a a a b b b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?則即為柯西施瓦茨不等式在實(shí)數(shù)域和 n 維歐式空間的表現(xiàn)形式。 證明： 因?yàn)?2 ( ) 1niQ a bt ya?? ? ? ? ?? ? 212 ( )niQ a bt y tb?? ? ? ? ?? ? 求二階偏導(dǎo)得 2 2 22221 1 12 1 2 , 2 , 2n n ni i iQ Q Qn t ta b a b? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 因?yàn)?2 2 22 2 2 2 222 1 1 1 1( ) ( 2 ) 2 ( 2 ) 4 ( )n n n ni i i iQ Q Q t n t t n ta b a b? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? 由柯西施瓦茨不等式得 2211( ) 0nniin t t?????? 所以 2 2 22 2 222 11( ) 4 ( ) 0nniiQ Q Q t n ta b a b??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???? 又 22 12 1 2 0 ,niQ na?? ? ? ?? ? 故 21( , ) ( )niQ a b a bt y?? ? ??存在極小值。 證法 3 通過利用定積分的定義來證明 因?yàn)?( ), ( )f x g x 在 ? ?,ab 上可積，所以 22( ), ( ), ( ) ( )f x g x f x g x都可積，對區(qū)間 ? ?,ab 進(jìn)行 n 等分，分為 , 0 , 1 , 2 , .i bax a i i nn?? ? ? … ,由定積分的定義得 1( ) ( ) l i m ( ) ( )nbiia n i baf x g x d x f x g x n?? ? ?? ?? 221( ) l i m ( )nbia n i baf x d x f x n?? ? ?? ?? 9 221( ) l i m ( )nbia n i bag x d x g x n?? ? ?? ?? 因?yàn)?2 2 21 1 1[ ( ) ( ) ] ( ) ( )n n ni i i ii i ib a b a b af x g x f x g xn n n? ? ?? ? ???? ? ?， 故 2 2 21 1 1[ l i m ( ) ( ) ] [ l i m ( ) ] [ l i m ( ) ]n n ni i i in n ni i ib a b a b af x g x f x g xn n n? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? 即 2 22( ) ( ) ( ) ( )b b ba a af x g x d x f x d x g x d x?? ??????? ? ?. 注： 此證法的關(guān)鍵在于應(yīng)用“分割，近似求和，取極限”的思想方法 . 證法 4 通過利用二重積分的知識來證明 [3] 令 2( , ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]bbaaF x y dx f x g y f y g x dy???? = 2 2 2 2[ ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]bbaadx f x g y f x g x f y g y f y g x dy???? 2 2 2 2[ ( ) ( ) ] 2 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]b b b b b ba a a a a af x g y dy dx f x g x dx f y g y dy f y g x dy dx? ? ?? ? ? ? ? ? = 2 2 2 2 2( ) ( ) 2 [ ( ) ( ) ] ( ) ( )b b b b ba a a a af x dx g y dy f x g x dx f y dy g x dx? ? ? ?? ? ? ? ? = 2 2 22 { ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] }b b ba a af x dx g x dx f x g x dx??? ? ? 當(dāng) 且 僅 當(dāng) xy? 時， 2( , ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] 0 ,bbaaF x y dx f x g y f y g x dy? ? ???故2 2 2( ) ( ) [ ( ) ( ) ]b b ba a af x dx g x dx f x g x dx??? ? ? 當(dāng) xy? 時， 2( , ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] 0 ,bbaaF x y dx f x g y f y g x dy? ? ???故2 2 2( ) ( ) [ ( ) ( ) ]b b ba a af x dx g x dx f x g x dx??? ? ? 綜上則有 2 2 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )b b ba a af x g x dx f x dx g x dx??? ? ?. 注： 本證法將問題轉(zhuǎn)化成二重積分問題，并利用了輪換對稱性，重積 分對稱性在 積分中的應(yīng)用時高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個重點(diǎn)、難點(diǎn)，值得注意。 2 2 2 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x xa a aF x f t g t dt f x g x f x g t dt g x f t dt? ? ? ? ?? ? ? = 2 2 2 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x xa a af x g x f t g t dt f x g t dt f t g x dt??? ? ? = ? ?2( ) ( ) ( ) ( ) 0xa f x g t f t g x d t? ? ?? 故 ()Fx在 ? ?,ab 上單調(diào)遞減，即 ( ) ( ), ( )F b F a a b?? 而 ( ) 0,Fa? 故 ( ) 0Fb? ，即 2 22( ) ( ) ( ) ( ) 0b b ba a af t g t d t f t d t g t d t?? ? ? ??
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