【正文】 2 21 1 1( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ,b b ba a aE f f x d x E g g x d x E f g f x g x d xb a b a b a? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?故 定理 ?定理 15 四種形式的本質(zhì)是內(nèi)積在不同的（賦范）空間的表現(xiàn)形式 1 1 2 2 1 2 1 2. . . ( , , . . . , ) , ( , , . . . , )n n n na b a b a b a a a b b b? ? ? ?? ? ? ? ? ? 當(dāng) 定 義 內(nèi) 積 ， ， 其 中2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2, , , ( .. . ) ( .. . ) ( .. . ) ,n n n na b a b a b a a a b b b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?則即為柯西施瓦茨不等式在實數(shù)域和 n 維歐式空間的表現(xiàn)形式。 證法 3 通過利用定積分的定義來證明 因為 ( ), ( )f x g x 在 ? ?,ab 上可積，所以 22( ), ( ), ( ) ( )f x g x f x g x都可積，對區(qū)間 ? ?,ab 進行 n 等分，分為 , 0 , 1 , 2 , .i bax a i i nn?? ? ? … ,由定積分的定義得 1( ) ( ) l i m ( ) ( )nbiia n i baf x g x d x f x g x n?? ? ?? ?? 221( ) l i m ( )nbia n i baf x d x f x n?? ? ?? ?? 9 221( ) l i m ( )nbia n i bag x d x g x n?? ? ?? ?? 因為 2 2 21 1 1[ ( ) ( ) ] ( ) ( )n n ni i i ii i ib a b a b af x g x f x g xn n n? ? ?? ? ???? ? ?， 故 2 2 21 1 1[ l i m ( ) ( ) ] [ l i m ( ) ] [ l i m ( ) ]n n ni i i in n ni i ib a b a b af x g x f x g xn n n? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? 即 2 22( ) ( ) ( ) ( )b b ba a af x g x d x f x d x g x d x?? ??????? ? ?. 注： 此證法的關(guān)鍵在于應(yīng)用“分割，近似求和，取極限”的思想方法 . 證法 4 通過利用二重積分的知識來證明 [3] 令 2( , ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]bbaaF x y dx f x g y f y g x dy???? = 2 2 2 2[ ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]bbaadx f x g y f x g x f y g y f y g x dy???? 2 2 2 2[ ( ) ( ) ] 2 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]b b b b b ba a a a a af x g y dy dx f x g x dx f y g y dy f y g x dy dx? ? ?? ? ? ? ? ? = 2 2 2 2 2( ) ( ) 2 [ ( ) ( ) ] ( ) ( )b b b b ba a a a af x dx g y dy f x g x dx f y dy g x dx? ? ? ?? ? ? ? ? = 2 2 22 { ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] }b b ba a af x dx g x dx f x g x dx??? ? ? 當(dāng) 且 僅 當(dāng) xy? 時， 2( , ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] 0 ,bbaaF x y dx f x g y f y g x dy? ? ???故2 2 2( ) ( ) [ ( ) ( ) ]b b ba a af x dx g x dx f x g x dx??? ? ? 當(dāng) xy? 時， 2( , ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] 0 ,bbaaF x y dx f x g y f y g x dy? ? ???故2 2 2( ) ( ) [ ( ) ( ) ]b b ba a af x dx g x dx f x g x dx??? ? ? 綜上則有 2 2 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )b b ba a af x g x dx f x dx g x dx??? ? ?. 注： 本證法將問題轉(zhuǎn)化成二重積分問題，并利用了輪換對稱性，重積 分對稱性在 積分中的應(yīng)用時高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個重點、難點，值得注意。 應(yīng)用 用于證明不等式 例 5. 證明： 2 2 21 2 1 2nna a a a a ann? ? ? ? ? ??… … 證明： 取 12( ) , (1 , 1 , , 1 )na a a??? ? ? ? ?… …由柯西施瓦茨不等式得 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2( ) | ( , ) | | | | | = ( 1 + 1 + + 1 ) ( + + + )nna a a a a a? ? ? ?? ? ? ? ?… … … 整理得： 2 2 21 2 1 2nna a a a a ann? ? ? ? ? ??… … 用于求最值 例 6. 已知 2 2 21 , ( , , ) 2 3x y z f x y z x y z? ? ? ? ? ?求 的最小值。 用于證明不等式 例 1． 已知 12, na a a… ， 都是正數(shù)，求證： 212 121 1 1( ) ( ) .n na a a na a a? ? ? ? ? ? ?… … 證明： 根據(jù)柯西 — 施瓦茨不等式的形式構(gòu)造兩個數(shù)組： 12, , , ,na a a… 121 1 1, , , ,na a a… 利用柯西施瓦茨不等式有 2 2 21 1 111( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ,n n niii i iiiaaaa? ? ???? ? ? 即 21 1 11( 1 ) ( ) ( ) .n n nii i i ia a? ? ??? ? ? 所以 212 121 1 1( ) ( ) .n na a a na a a? ? ? ? ? ? ?… … 用于求最值 例 2 1,x y z? ? ? 求 2 2 23x y z??的最小值 . 解： 根據(jù)柯西 — 施瓦茨不等式的形式構(gòu)造兩個數(shù)組： 2 2 2,( 3 ) ,x y z 和 2 2 212 ,( ) ,13? 則有 2 2 2 2 2 2 21[ ( 3 ) ] [ 2 ( ) 1 ] ( 2 ) 1 ,3x y z x y z? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 2 2 2 2 2 21 6 3( 3 ) 1 33 1 6x y z x y z? ? ? ? ? ? ? 4 所以 2 2 23x y z??的最小值 316 . 用于解方程組 例 3. 在實數(shù)范圍內(nèi)解方程組2 2 2293 4 6229234x y zx y z? ? ? ? ????? ? ? ??? 解： 由柯西施瓦茨不等式知 2 2 2 2 2 2 2 2 246( 2 3 ) ( 9 8 12 ) [ ( 2 ) ( 3 ) ] [ ( 3 ) ( ) ( ) ]23x y z x y z ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2229( 3 4 6 ) ( )2x y z? ? ? ? 所以 222 2 229 ( 3 4 6 ) ( 29 / 2) 292 3 .4 9 8 12 29 4x y zx y z ? ? ?? ? ? ? ? ???當(dāng)且僅當(dāng)233 2 2 2 3x y z??? ?時等號成立，并將其與 293 4 6 2x y z? ? ? ?聯(lián)立解方程組可得：3211xyz? ??? ???? ??? 用于解三角形相關(guān)問題 例 4. 設(shè) ,abc分別為三角形 三邊，其對應(yīng)的高分別為 , , ,a b ch h h r 為三角形外切圓半徑，且滿足 9r? a b ch h h?