【正文】 16 參考文獻(xiàn)： [1]樊惲，劉宏偉 ,線性代數(shù)與解析幾何教程（下冊(cè)） [M]. 北京：科學(xué)出版 社， 2020. [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)，第三版） [M]，北京：高等 出版社， 2020（ 2020 重印） [3]付英貴，關(guān)于柯西施瓦茨不等式證明 [J].西南科技大學(xué)《高教研究》， 2020,93（ 4）： 89 [4]李賢平，概率論基礎(chǔ)（第三版） [M].北京：高等出版社， 2020. [5] 常廣平，李林衫，劉大蓮 .利用 CauchySchwarz 不等式估計(jì)回歸系數(shù) [J] 北京聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)， 22:4(2020),7778. [6]張千祥 .柯西不等式的教學(xué)價(jià)值 [J].大學(xué)數(shù)學(xué)， 2020(2):116118. 。 當(dāng)定義內(nèi)積 , ( )E? ? ??? ，若 ,??為隨機(jī)變量，取 ,? ? ? ???，則由2, , ,? ? ? ? ? ?? 得 2 2 2[ ( ) ] ( ) ( )E E E?? ? ???，即為柯西施瓦茨不等式在概率空間的表現(xiàn)形式。 1 1 1 1. . . ( , . . . , , . . . ) , ( , . . . , , . . . )n n n na b a b a a b b? ? ? ?? ? ? ? ? 當(dāng) 定 義 內(nèi) 積 ， +... ， 其 中 2 2 2 2 2 21 1 1 1, , , ( .. . .. .) ( .. .) ( .. .) ,n n n na b a b a a b b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?則… … 即為柯西施瓦茨不等式在數(shù)學(xué)分析 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)上的表現(xiàn)形式。 如： 在實(shí)數(shù)域中 令 2 2 2 21 1 1 1( ) ( ) ( ) 2 ( ) 0n n n ni i i i i ii i i if x a x b a x a b x b? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 14 在 n 維歐式空間中 令 2( ) , , 2 , , 0 .f x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 在微積分中 令 2 2 2 2( ) [ ( ) ( ) ] ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0b b b ba a a aF t t f x g x dx t f x dx t f x g x dx g x dx? ? ? ? ? ?? ? ? ? 在概率空間中 令 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0u t E t E t E t E? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 從以上各式可看出都是通過(guò)構(gòu)造二次函數(shù)或二次不等式，利用判別式 0?? 進(jìn)行求證。 從以上兩個(gè)例子可以看出柯西施瓦茨不等式在求方程系數(shù)和判斷極值中起了補(bǔ)充說(shuō)明的作用，增強(qiáng)了預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確性、科學(xué)性、嚴(yán)密性 [5]。 解： 設(shè) 21( , ) ( ) ,niQ a b a bt y?? ? ??這里 2211( , ) ( ) ( )nniiiiQ a b a b t y a b t y??? ? ? ? ? ??? 令12 ( ) 1 0 ,niQ a b t ya?? ? ? ? ? ?? ? 212 ( ) 0niQ a b t y tb?? ? ? ? ? ?? ? 整理得 1121 1 1nniin n ni i iy na b tty a t b t??? ? ?? ?????? ??????? ? ?消去 221 1 1 1 1, ( )n n n n ni i i i ia n t t b n t y t y? ? ? ? ???? ? ?????? ? ? ? ? 由柯西施瓦茨不等式得 2 2 2 21 1 1 11 ( 1 )n n n ni i i in t t t? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，故 2211) 0,nniin t t??????等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)121 1 1nt t t? ? ?…. 又由于 t 為時(shí)間變量 ，故 12 nt t t? ? ?… ，所以 2211( ) 0nniin t t?????? 故1 1 1221111()n n ni i inniinniin ty t ybn t ty b tan? ? ????????? ?? ????? ?? ???? ? ????? 13 用于判斷極值是否存在 例 11. 證明 21( , ) ( ) ,niQ a b a bt y?? ? ??存在極小值。 定理（數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的柯西 — 施瓦茨不等式） 若級(jí)數(shù) 22nnab??和 收斂，則級(jí)數(shù) nnab? 收斂，且 2 2 2()n n n na b a b??? ? ?. 10 證明： 由于 22nnab??和 收斂，則有 22()nnab?? 收斂，而 221| | ( )2n n n na b a b??， 故nnab? 絕對(duì)收斂 . 由定理 中的 2 2 21 1 1( ) .n n ni i i ii i ia b a b? ? ??? ? ?可知當(dāng)令 n?? 取極限時(shí)，2( ) .n n n na b a b?? ? ?即為所要證明的不等式 . 應(yīng)用 用于證明不等式 例 8. 若 ( ), ( )f x g x 都在在 ? ?,ab 上可積，則有 閔可夫斯基（ Minkowski） 不等式： 1 1 12 2 22 2 2[ ( ( ) ( ) ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]b b ba a af x g x d x f x d x g x d x? ? ?? ? ? 證明： 由柯西施瓦茨不等式得 2 2 2( ( ) ( ) ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )b b b ba a a af x g x dx f x dx f x g x dx g x dx? ? ? ?? ? ? ? 12 2 2 22( ) 2 [ ( ) ( ) ] ( )b b b ba a a af x d x f x d x g x d x g x d x? ? ? ?? ? ? ? 112 2 222[ ( ( ) ) ( ( ) ) ]bbaaf x d x g x d x???? 故 1 1 12 2 22 2 2[ ( ( ) ( ) ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]b b ba a af x g x d x f x d x g x d x? ? ?? ? ? 概率空間中的 CauchySchwarz 不等式 定理 [4] 設(shè) ??， 為任意隨機(jī)變量，若 22( ), ( )EE??存在，則 ()E?? 也存在， 且 2 2 2[ ( ) ] ( ) ( )E E E?? ? ???，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù) 0t ，使得 0{ } 1Pt???? 證明：構(gòu)造二次 函數(shù) 定義任意實(shí)數(shù) t 的二次函數(shù)為 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )u t E t E t E t E? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 因?yàn)閷?duì)一切 t ，必然有 2( ) 0t????，從而有 () 0,ut? 于是方程 () 0ut? 要么無(wú)實(shí)根， 要么有一個(gè)實(shí)根，即重根，則判別式非正，從而 2 2 2[ ( ) ] ( ) ( ) 0E E E?? ? ?? ? ?， 即 2 2 2[ ( ) ] ( ) ( )E E E?? ? ???. 11 當(dāng)?shù)忍?hào)成立，方程 () 0ut? 有一個(gè)重根 0t ，使 20( ) 0Et????， 從而 2 2 20 0 0 0( ) ( ) ( ( ) ) ( ) 0D t E t E t E t? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 即 0( ) 0,Dt????且 0( ) 0Et????，于是 00{ 0 } 1 , { } 1P t P Y t X??? ? ? ? ?且 反之，若存在常數(shù) 0t ，使得 0{ } 1Pt????成立，即 0{ 0} 1,Pt??? ? ? 從而 2 2 200{ 0 } 1 , { ( ) 0