柯西不等式的應(yīng)用(整理篇)-資料下載頁
2025-04-09 01:52本頁面
【正文】 成立。 令，于是引進(jìn)參求的最值。 由柯西不等式， =又由平均值不等式得= （1）當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)等號(hào)成立。例、已知a,b為正常數(shù)，且0x,求的最小值。 解：利用柯西不等式，得等號(hào)成立的當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)；即 時(shí)，于是 再由柯西不等式，得 等號(hào)成立也是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)。 從而 于是的最小值是在許多問題中，如果我們能夠利用柯西不等式去解決，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新. 三、排序不等式設(shè)a1163。a2163。…163。an,b1163。b2163?！?63。bn。r1,r2,…,rn是1,2,…,n的任一排列，則有：a1bn+ a2bn1+…+ anb1163。a1br1+ a2br2+…+ anbrn163。 a1b1+ a2b2+…+ anbn反序和163。亂序和163。同序和,b,c206。R+,比較a3+b3+c3與a2b+b2c+c2a的大小解：取兩組數(shù)a,b,c；a2,b2,c2，則有a3+b3+c3179。a2b+b2c+c2a,a2,…,an的任一排列為a1/,a2/,…an/，則有證明：取兩組數(shù)a1,a2,…,an；其反序和為，原不等式的左邊為亂序和，有,b,c206。R+求證：證明：不妨設(shè)a179。b179。c0,則 0且a12179。b12179。c120則,a2,…,an是1,2,…,n的一個(gè)排列，求證：證明：設(shè)b1,b2,…,bn1是a1,a2,…,an1的一個(gè)排列，且b1b2…bn1；c1,c2,…,1是a2,a3,…,an的一個(gè)排列,且c1c2…1則 且b1179。1,b2179。2,…,bn1179。n1；c1163。2,c2163。3,…,1163。n利用排序不等式有：：若a1163。a2163?！?63。an且b1163。b2163?！?63。bn,則a1163。a2163?！?63。an且b1179。b2179?！?79。bn,則證明：由排序不等式有：a1b1+a2b2+…+anbn= a1b1+a2b2+…+anbna1b1+a2b2+…+anbn179。 a1b2+a2b3+…+anb1a1b1+a2b2+…+anbn179。 a1b3+a2b4+…+anb2…………………………………………a1b1+a2b2+…+anbn179。 a1bn+a2b1+…+anbn1將以上式子相加得：n(a1b1+a2b2+…+anbn)179。 a1(b1+b2+…+bn)+ a2(b1+b2+…+bn)+…+ an(b1+b2+…+bn)∴18
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