淺議不等式的證明數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文-資料下載頁(yè)
2025-01-13 10:10本頁(yè)面
【正文】 12! ［ f″(ξ2)(1 c)2f″(ξ1) c2］ , 于是 |f′(c)|=|f(1) f(0)12 ［ f″(ξ2)(1 c)2f″(ξ1) c2］ | ≤|f(1)|+|f(0)|+12|f″(ξ2)| (1 c)2+12 |f″(ξ1)| c2 ≤2a+ b2［ (1c)2+ c2］ , 又因當(dāng) c∈ (0,1)時(shí)，有 x (1c)2+ c2≤1 故 |f′(c)|≤2a+ b2 因這里 ξ 與 x有關(guān)，可將其記為 ξ(x) ，那么 當(dāng)令 x分別取 0和 1時(shí)，對(duì)應(yīng)的 ξ可分別用 ξ1 和 ξ2 表示。 注 :泰勒展開(kāi)式的證明常用的是將函數(shù) f(x)在所給區(qū)間端點(diǎn)或一些特定點(diǎn)（如區(qū)間的中點(diǎn)，零點(diǎn)）進(jìn)行展開(kāi)，通過(guò)分析余項(xiàng)在 ξ 點(diǎn)的性質(zhì)，而得出不等式。另外若余項(xiàng)在所給區(qū)間上不變號(hào)，也可將余項(xiàng)舍去而得到不等式。 7 利用定積分的性質(zhì)證明不等式 定理 4[1] 設(shè) f 與 g 為定義在 ],[ ba 上的兩個(gè)可積函數(shù)，若 ],[),()( baxxgxf ?? ,則 ? ?? gf baba. 定積分法是利用積分學(xué)中的知識(shí)來(lái)證明不等式的一種方法，它主要是利用積分學(xué)中的基本公式、基本性質(zhì)、基本定理來(lái)證明不等式． 例 已知 1?x ，求證： ? ? )1(5115 45 ????? xxxx . 證明：取 ? ?xt ,1? ，則 4441 xt ?? ，所以 44 555 xt ?? ，所以 ??? ?? dtxdttdt xxx 41411 555 ， 所以 )1(51)1(5 45 ????? xxxx ，從而原命題得證． 8 利用柯西不等式證明不等式 定義 5[4] 若 ),3,2,1(, niyx ii ?? 為任意的實(shí)數(shù)，則有 222112222122221 )())(( nnnn yxyxyxyyyxxx ?????????? ??? ， 當(dāng)且僅當(dāng)nnyxyxyx ??? ?2211 時(shí)取等號(hào)，這個(gè)公式稱為柯西不等式． 例 證明： 22c o ss in baxbxa ??? . 證明：由柯西不等式得 222222 )c o s) ( s i n(c o ss i n baxxbaxbxa ?????? . 注： 本題也可以用初等方法證明． xi 例 求 證〖 JF(Z〗 baf(x)dx〖 JF)〗 〖 JF(Z〗 ba1f(x)dx≥(b a)2〖 JF)〗 已知 f(x)在區(qū)間［ a,b］上連續(xù)，且 f(x)0, 證明： (〖 JF(Z〗 baf(x)1f(x)dx)2〖 JF)〗 ≤ 〖 JF(Z〗 baf(x))2 dx〖 JF)〗 〖 JF(Z〗ba（ 1f(x))2dx〖 JF)〗 即得 〖 JF(Z〗 baf(x)dx〖 JF)〗 〖 JF(Z〗 ba1f(x)dx≥(b a)2〖 JF〗 注： 柯西 施瓦茨不等式是一個(gè)常用的不等式，在證明過(guò)程中我們可以直接利用常用不等式進(jìn)行證明， 既 方便又快捷 。 xii 參考文獻(xiàn)： [1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編 .數(shù)學(xué)分析 [M]（第二版） .北京：高等教育出版社， . [2] 何勝明，劉永春 .利用函數(shù)的凹凸性證明不等式 [J].中學(xué)數(shù)學(xué)（湖北）， .第 18卷第 5期． [3] 葉殷，何克樹(shù)，用高等數(shù)學(xué)證明不等式的若干中方法 [J].西昌師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)， ，第 16卷第 4期 . [4] 劉絳玉，郝香之，陳佩宇 .不等式的證明方法 [J].石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，第 16卷第 4期 . [5] 黃先開(kāi)，曹顯兵 ,等 .歷屆考研試題 .北京： 世界圖書(shū)出版公司 , 2022.
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