【導(dǎo)讀】更加廣泛的存在于現(xiàn)實(shí)的世界里，但是人們對(duì)于不等式的認(rèn)識(shí)要比方程要遲的多.的認(rèn)識(shí)，以便于可以站在更高的角度來(lái)研究數(shù)學(xué)不等式.通過(guò)變換，把某些問(wèn)題歸納為求函數(shù)的極值，達(dá)到證明不等式的目的.當(dāng)x屬于某區(qū)間，有0)(??調(diào)下降.推廣之，若證)()(xgxf?

　　

【正文】 )()(])()([ 222 湖南理工學(xué)院 本科畢業(yè)論文 18 例 )(xf 的一階導(dǎo)數(shù)在 ]1,0[ 上連續(xù) ,且 0)1()0( ?? ff ,求證： )(m a x41)( 1010 xfdxxf a ?? ??? 證 明 ： 由于 ?? ?? 1010 )21()()( xdxfdxxf ? ????? 1010 )()21()21)(( dxxfxxxf ? ???? 10 .)()21( dxxfx 因此有積分中值定理及基本積分不等式 ,有 dxxxfdxxfxdxxf ??? ??????? 101010 21)()()21()( ].1,0[,21)( 10 ????? ? ?? dxxf 而41)21()21(21 21012110 ?????? ? ?? dxxdxxdxx, 所以 )(m a x41)(41)(1010 xffdxxf a ???? ??? ? 例 18． 函數(shù) )(xf 在 ]1,0[ 上有定義且單調(diào)不減 ,證明：對(duì)于任何 )1,0(?a ,有 ? ??a dxxfadxxf0 10 )()( 證 明 ： (分析 :用換上限法 ) 由 10 ??a ,對(duì) 0?t ,有 tat??0 .又由于 )(xf 在 ]1,0[ 上單調(diào)不減 ,有 )()( tfatf ? ,從而 ???? ???? 1010100 )()()()( dxxfadttfadtatfadxxfa atx 例 )(xf 是 ],[ ba 的連續(xù)函數(shù) ,而且是非負(fù)和下凸的 , 0)0( ?f 求證： ?? ? 10210 )(41)( dxxfdxxf 證明 ： 令 ?? ??? 200 )()(41)( xx dttfdttfx ,則 0)0( ?? ， )0()2(21)(41)2(21)(41)( fxfxfxfxfx ?????? ? 由于 )(xf 下凸的 ,故 )]0()([21)2( fxfxf ?? 湖南理工學(xué)院 本科畢業(yè)論文 19 所以 0)( ??? x , )(x? 在 ]1,0[ 上單調(diào)增加 ,從而 0)0()( ???? x 即 0)()(41 200 ?? ?? xx dttfdttf ,其中 ]1,0[?x 特 別 ,當(dāng) 1?x 時(shí) , ?? ? 10210 )(41)( dttfdttf 例 )(xf 在 ],[ ba 上二階可導(dǎo) ,且 0)( ??? xf ,求證： )2()()( bafabdxxfba ???? 證明： 令 ?????? xa dttfxafaxx )()2()()(,則 0)( ??a ， )()2()(21)2()( xfxafaxxafx ???????? ? ])2)((212)2()2([)2(2)2( 2axfaxxafxafxafaxxaf ???????????????? ? 0)2)((21 2 ?????? axf ? 所以 0)( ??x ,特別的有 0)( ??b .即 )2()()( bafabdxxfba ????. 例 ： ?? ??? 20 220 2 1c os1s in ?? dxxxdxxx 分析：只要證 ? ???? 20 2 01c oss in? dxx xxI ,利用三角函數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換及定積分的性質(zhì)證之 . 證明： 設(shè)? ??? 20 21 c ossin? dxx xxI ?? ?????? 22 240 2 1 c oss i n1 c oss i n ??? dxx xxdxx xx 21 II ?? ，在 2I 中，令tx ??2? ，則 dttttdttttI ?????????? 40 204 22 )2(1s i nc o s)2(1c o ss i n ?? ??，即dxxxxxxxxxI ??????????? 402222])2(1)[1()1)(s i n(c os])2(1)[c os(s i n??? 湖南理工學(xué)院 本科畢業(yè)論文 20 0])2(1)[1()4)(c os(s i n])2(1)[1()4)(c os(s i n40 2240 222????????????? ?? dxxxxxxdxxxxxx ????????，故等式不成立 . 例 )(),( xgxf 在 ],[ ba 連續(xù) ,且滿足： ? ??xa xa dttgdttf )()( , ),( bax? ,? ??ba ba dttgdttf )()( 證明： ? ??ba ba dxxxgdxxxf )()(. 證明： 令 )()()( xgxfxF ?? , ?? xa dttFxG )()(,由題意得 0)( ?xG , ),( bax? , 0)()( ?? bGaG , )()( xFxG ?? ,則 ? ??? ?????ba bababa dxxGdxxGabxxGxx dGdxxxF )()()()()( 又 ),(,0)( baxxG ?? ,故 0)( ???ba dxxG,即： ? ?ba dxxxF 0)(, 故不等式成立 . 例 )(xf 在 ? ???,0 上連續(xù) ,且單調(diào)減少 , ba??0 , 求證： ?? ? ab dxxfbdxxfa00 )()( 分析：將結(jié)論變形為 b xfa dxxf ba ?? ? 00 )()( ,可發(fā)現(xiàn)等號(hào)倆端結(jié)構(gòu)相似 ,從而 構(gòu)造函數(shù) . 證明： 設(shè) x dxxfxF x?? 0 )()( ,則： x fxfxdttfxxfxF x )()()()()(20?????? ?, )0( x??? 由 )(xf 在 ? ???,0 單調(diào)減少 ,得 )()( xff ?? ,即 0)( ?? xF 故 )(xF 在 ? ???,0 單調(diào)減少 ,得 )()( bFaF ? ,即： b xfa dxxf ba ?? ? 00 )()( 故不等式成立 . 致 謝 ： 在我的畢業(yè)論文設(shè)計(jì)之時(shí)，有幸得到我 的 最敬愛的 指導(dǎo)老師 楊 雄老師的細(xì)心指導(dǎo)， 衷心的感謝楊 老師對(duì)我一直以來(lái)的關(guān)心和幫助 . 湖南理工學(xué)院 本科畢業(yè)論文 21 參考文獻(xiàn) [1]數(shù)學(xué)分析 .華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 (第三版 )[M].北京 :高等教育出版社 ,1999,87. [2]施咸亮 .與幾何平均有關(guān)的兩個(gè)不等式 [J].浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào) ,1980,1(1):2125. [3]李家熠 .用均值不等式證明不等式 [J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊 ,2020,11(4):130133. [4]霍連林 .著名不等式 [M].北京 :中國(guó)物質(zhì)出版社 ,1994,123124. [5] Tom M. Apostol. Mathematical Analysis (Second Edition)[M] .BeiJing: China Machine Press,1994,1719. [6]Yang Bicheng. On an Extension of HardyHilbert’s Inequality [J].Chinese Ann. Math.(Ser. A ),2020,23(2)： 247254. [7]Gao Heisenberg’s Inequality[J]..,1999,234(2):727734. [8] 錢吉林等主編 數(shù)學(xué)分析題解精粹 [M] 武漢：崇文書局， 2020. [9] 王國(guó)燦 鄭成德編著 大連交通大學(xué)數(shù)學(xué)系 數(shù)學(xué)分析 [M]， 大連：大連交通大學(xué)出版社 ，2020.