【正文】 i n yxyxyx ?????? 故 yxyxyx ????? ?c os)(s i ns i n . 利用拉格朗日函數(shù) 例 4 證明不等式 ,)111(3 31 abccba ??? ? 其中 cba , 為任意正實數(shù) . 證明 ： 設(shè)拉格朗日函數(shù)為對 ).1111(),( rzyxxyzzyxL ????? ?? 對 L 求偏導(dǎo)數(shù)并令它們都等于 0，則有 02 ??? xyzLx ? ， 02 ??? yzxLy ? ， 02 ??? xxyLz ? ， .01111 ????? rzyxL ? 由方程組的前三式，易的 湖南理工學(xué)院 本科畢業(yè)論文 7 .111 ?? ???? xyzzyx 把它代入第四式，求出.31r??從而函數(shù) L 的穩(wěn)定點為 .)3(,3 4rrzyx ???? ? 為了判斷 3)3()3,3,3( rrrrf ? 是否為所求條件極小值，我們可把條件rzyx 1111 ???看作隱函數(shù) ),( yxzz? （滿足隱函數(shù)定理條件），并把目標函數(shù)),(),(),( yxFyxx y zzyxf ?? 看作 f 與 ),( yxzz? 的復(fù)合函數(shù) .這樣，就可應(yīng)用極值充分條件來做出判斷 .為此計算如下： ,22xzzx ?? ,22yzzy ?? ,2xyzyzFx ?? ,2yxzxzFy ?? ,2,2 3223 3 xyzxzyzzFxyzF xyxx ????? .2 3 3yxzFyy ? 當 rzyx 3??? 時， ,3,6 rFFrF xyyyxx ??? .027 22 ??? rFFF xyyyxx 由此可見，所求得的穩(wěn)定點為極小值點，而且可以驗證是最小值點 .這樣就有不等式 ).1111,0,0,0()3( 3 rzyxzyxrxyz ??????? 令 , czbyax ??? 則 ,)111( 1???? cbar 代入不等式有 31 ])111(3[ ???? cbaabc 或 ).0,0,0()111(3 31 ?????? ? cbaabccba 湖南理工學(xué)院 本科畢業(yè)論文 8 2 利用著名不等式證明 利用均值不等式 設(shè) naaa , 21 ? 是 n 個正實數(shù)，則 nnn aaan aaa ?? 2121 ????，當且僅當naaa ??? ?21 時取等號 . 例 5 證明 柯西不等式 ).)(()(121221 ??? ??? ?ni ini ini ii baba 證明 ： 要證柯西不等式成立，只要證 ?????? ?ni ini ini ii baba 12121 （ 1） 令 , 212212 BbAa ni ini i ?? ?? ?? （ 2） 式中 ,0,0 ?? BA 則（ 1）即 ABbani ii???1 即 11 ???ABbani ii （ 3） 下面證不等式 (3),有均值不等式， 2 221221222121 BbAaBAba ?? ， 即 221221112BbAaABba ?? ， 同理 222222222BbAaABba ?? ， ? ， 22222BbAaABba nnnn ?? . 將以上各式相加，得 湖南理工學(xué)院 本科畢業(yè)論文 9 2122121)(2 BbAabaABni ini ini ii??? ????? (4) 根據(jù)（ 2），（ 4）式即 2)(21 ???ni iibaAB. 因此不等式（ 3）成立，于是柯西不等式得證 . 利用柯西不等式 例 6 設(shè) Rai? ， 1?i ， 2 ，…， n ．求證： 2112 1 ??????? ????ni ini i ana． 證明 ： 由柯西不等式 ????? ????? ???????????????????? ???????? ni inini ini ini i anaaa 1 21 21 22121 11． 兩邊除以 n 即得． 說明：兩邊乘以 n1 后開方得 ???? ?ni ini i anan 12111 ．當 ia 為正數(shù)時為均值不等式中的算術(shù)平均不大于平方平均． 利用赫爾德不等式 例 7 設(shè) ,ab為正常數(shù)， 0 2x ??? ， nN? ，求證： 222 2s i n c o snnnnnabxx ab?????? ? ????? 證明 : 2 2sin co s nnnabxx????????= 2 2sin co s nnnabxx???????? ? ?22 2si n cos nnxx?? ? ? ? ?222222si n c ossi n c osnnnnnnabxxxx????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? = 22nnab??? 湖南理工學(xué)院 本科畢業(yè)論文 10 即 222 2s i n c o snnnnnabxx ab?????? ? ?????. 利用詹森不等式 例 8 證明不等式 ,)( 3 cbacba cbaabc ??? 其中 cba , 均為正數(shù) . 證明 : 設(shè) .0,ln)( ?? xxxxf 由 )(xf 的一階和二階導(dǎo)數(shù) xxfxxf 1)(,1ln)( ?????? 可見， xxxf ln)( ? 在 0?x 時為嚴格凸函數(shù) .依詹森不等式有 )),()()((31)3( cfbfafcbaf ????? 從而 ),lnlnln(313ln3 ccbbaacbacba ??????? 即 .)3( cbacba cbacba ??? ?? 又因 ,33 cbaab c ??? 所以 .)( 3 cbacba cbaabc ??? 湖南理工學(xué)院 本科畢業(yè)論文 11 3 利用積分不等式的性質(zhì) 積分不等式的性質(zhì) 性質(zhì) 1 函數(shù)的代數(shù)和的積分等于各個函數(shù)積 分的代數(shù)和 ? ?? ??? ba baba dxxgkdxxfkdxxgkxfk )()()]()([ 2121 其中 21,kk 都是常數(shù) 性質(zhì) 2 如果在區(qū)間 ],[ ba 上 1)( ?xf ,則 ? ? ???ba ba abxdxd )()( 0 不等式的若干證明方法 定理的應(yīng)用 Some of the inequality proof method prove the existence of highdimensional implication function theorem 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 作 者： 胡元勇 指導(dǎo)老師