【正文】 0 )()( dxxfdxxf 例 0?a ,函數(shù) )(xf 在 ],0[ a 上連續(xù)可微 , 證明： ?? ??? aa dxxfdxxfaf 00 )()(1)0( 證法 1： 因為 )(xf 在 ],0[ a 上連續(xù)可微 所以積分 ? ??a dxxfxa0 )()(存在 ,且 ? ? ????a a xfdxadxxfxa0 0 )]([)()()( ?? ????? aa dxxfdxxfxaaf00 )()()()0( ? ???? aa xadxfxfxa00 )()()()( ???? a dxxfaf 0 )()0( 因為 ?? ???? aa dxxfdxxfxaxaf00 )()()()( dxxfdxxfxa aa ?? ???? 00 )()()( dxxfdxxfa aa ?? ??? 00 )()( 所以 ?? ??? aa dxxfdxxfaf00 )()(1)0( 證法 2： 因為 )(xf 連續(xù) ,由積分中值定理 ,存在 ],0[ a?? ,使得 ? ?a afdxxf0 ξ)()( 又因為 ? ?? ξ0 (x )dx(0 )ξ)( fff 所以 ?? ?????? ?? ??00 )()()()()0( dxxffdxxfff ?? ??? aa dxxfdxxfa 00 )()(1 ? ? ??? a a dxxfdxxfa 0 0 )()(1 湖南理工學(xué)院 本科畢業(yè)論文 17 例 )(xf 為 ],[ ba 上的連續(xù)遞增函數(shù) ,則不等式成立： ? ???ba ba dxxfbadxxxf )(2)( （ 1） 證 明 ：（ 用 性質(zhì) 10） 要證（ 1）式只要證明 0)()2( ???? dxxfbaxba （ 2） 由于 )(xf 單調(diào)遞增 ,利用積分第二中值定理（性質(zhì) 10） ,則存在 ],[ ba?? ,使 ? ??ba dxxfbax )()2( ?? ?????? ba dxbaxbfdxbaxaf ?? )2()()2()( ?? ??????? bba dxbaxafbfdxbaxaf ? )2()]()([)2()( )](22)][()([ 22 ?? ?????? bbabafbf 0)(2)]()([ ????? abafbf ?? 故（ 2）成立 ,原不等式成立 例 16． 柯西不 等式的證明 證 明 :柯西不等式為 ??? ? bababa dxxgdxxfdxxgxf )()(])()([ 222。 0 不等式的若干證明方法 定理的應(yīng)用 Some of the inequality proof method prove the existence of highdimensional implication function theorem 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 作 者： 胡元勇 指導(dǎo)老師： 楊 雄 湖南理工 學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院 二 ○一二 年五月 岳 陽 湖南理工學(xué)院 本科畢業(yè)論文 1 摘 要 無論在初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)中 ,不等式都是十分重要的內(nèi)容 .而不等式的證明則 是不等式知識的重要組成部分 .在本文中，我總結(jié)了一些數(shù)學(xué)中證明不等式的方法 .在初等數(shù)學(xué)不等式的證明中經(jīng)常用到的有比較法、作商法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、放縮法、換元法、判別式法、函數(shù)法、幾何法等等 .在高等數(shù)學(xué)不等式的證明中經(jīng)常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函數(shù)、以及一些著名不等式，如：均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫爾德不等式等等 .從而使不等式的證明方法更加的完善，有利于我們進(jìn)一步的探討和研究不等式的證明 . 通過學(xué)習(xí)這些證明方法，可以幫助我們解決一些實際問題，培養(yǎng)邏輯推理論證能力和抽象思維 的能力以及養(yǎng)成勤于思考、善于思考的良好 學(xué)習(xí) 習(xí)慣 . 關(guān)鍵詞 ： 不等式；比較法；數(shù)學(xué)歸納法；函數(shù) 等等 湖南理工學(xué)院 本科畢業(yè)論文 2 Abstract No matter in elementary maths or higher in mathematics, inequality is very important content. The inequality proof is an important part of the inequality knowledge. In this paper, I summarized some mathematical proof of inequality technique. In elementary mathematics inequality for the evidence is often used as a parison, the mercial law, analysis and synthesis, mathematical induction, reduction, zooming method, in yuan method, discriminant method, function method, geometric method, etc. In the higher mathematics inequality for often use the evidence of the mean value theorem, Taylor formula, Lagrange function, and some famous inequality, such as: mean, inequality cauchy inequality, Jason, inequality holder inequation, etc. So that inequality proof of the method is more perfect, be helpful for our further research and study of the inequality proof. By studying the identification method, can help us solve some practical problems, cultivate logical reasoning ability and the abstract thinking ability, and develop thinking, good at thinking of the good study habits. Keywords: inequality。 設(shè) ??? ?? bababa dxxgdxxfdxxgxfu )()(])()([)( 222? 顯然 )(u? 在 ],[ ba 上連續(xù) ,在 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo) ,且 ??? ???? uauaua dxxfugdxxgufdxxgxfuguf )()()()()()()()(2)u 2222（? ??? ??? uauaua dxugxfdxugufdxxgxfuguf )()()()()()()()(2 2222 ? ???? ua dxugxfxgxfugufxguf )]()()()()()(2)()([ 2222 ? ???? ua dxugxfxguf 0)]()()()([ 2 所以 )(u? 在 ],[ ba 上單調(diào)減少 ,則 0)()( ?? ab ?? ,即 0)()(])()([)( 222 ??? ??? bababa dxxgdxxfdxxgxfb? 得到結(jié)論 ? ? ??ba ba ba dxxgdxxfdxxgxf )(