【正文】 0 不等式的若干證明方法 定理的應(yīng)用 Some of the inequality proof method prove the existence of highdimensional implication function theorem 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 作 者： 胡元勇 指導(dǎo)老師： 楊 雄 湖南理工 學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院 二 ○一二 年五月 岳 陽 湖南理工學(xué)院 本科畢業(yè)論文 1 摘 要 無論在初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)中 ,不等式都是十分重要的內(nèi)容 .而不等式的證明則 是不等式知識的重要組成部分 .在本文中，我總結(jié)了一些數(shù)學(xué)中證明不等式的方法 .在初等數(shù)學(xué)不等式的證明中經(jīng)常用到的有比較法、作商法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、放縮法、換元法、判別式法、函數(shù)法、幾何法等等 .在高等數(shù)學(xué)不等式的證明中經(jīng)常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函數(shù)、以及一些著名不等式，如：均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫爾德不等式等等 .從而使不等式的證明方法更加的完善，有利于我們進一步的探討和研究不等式的證明 . 通過學(xué)習(xí)這些證明方法，可以幫助我們解決一些實際問題，培養(yǎng)邏輯推理論證能力和抽象思維 的能力以及養(yǎng)成勤于思考、善于思考的良好 學(xué)習(xí) 習(xí)慣 . 關(guān)鍵詞 ： 不等式；比較法；數(shù)學(xué)歸納法；函數(shù) 等等 湖南理工學(xué)院 本科畢業(yè)論文 2 Abstract No matter in elementary maths or higher in mathematics, inequality is very important content. The inequality proof is an important part of the inequality knowledge. In this paper, I summarized some mathematical proof of inequality technique. In elementary mathematics inequality for the evidence is often used as a parison, the mercial law, analysis and synthesis, mathematical induction, reduction, zooming method, in yuan method, discriminant method, function method, geometric method, etc. In the higher mathematics inequality for often use the evidence of the mean value theorem, Taylor formula, Lagrange function, and some famous inequality, such as: mean, inequality cauchy inequality, Jason, inequality holder inequation, etc. So that inequality proof of the method is more perfect, be helpful for our further research and study of the inequality proof. By studying the identification method, can help us solve some practical problems, cultivate logical reasoning ability and the abstract thinking ability, and develop thinking, good at thinking of the good study habits. Keywords: inequality。 Comparison method。 Mathematical induction。 Function and so on . 湖南理工學(xué)院 本科畢業(yè)論文 3 目錄 摘要 ……………… … …………………… …… ……………………… 1 Abstract………… ……………………… …… ………………… …… 2 0引 言 … ………………………………… … ………………………… 4 1利用函數(shù)證明不等式 函數(shù)極值法 ………………………………………………… 5 單調(diào)函數(shù)法 ………………………………………………… 5 中值定理法 ………………………………………………… 6 利用拉格朗日函數(shù)法 ……………………………………… 6 2利用著名不等式 利用均值不等式 …………………………………………… 8 利用柯西不等式 …………………………………………… 9 利用赫爾德不等式 ………………………………………… 9 利用詹森不等式 …………………………………………… 10 3利用積分不等式的性質(zhì) 積分不等式的性質(zhì) ………………………………………… 11 積分不等式的證明 ………………………………………… 12 參考文獻 …… ………………………………… …… …… …………… 20 致謝 ………………………………………… …… … ………………… 21 湖南理工學(xué)院 本科畢業(yè)論文 4 0 引 言 在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，不等式證明是一個非常重要的內(nèi)容，這些內(nèi)容在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中都有很好的體 現(xiàn) .在數(shù)量關(guān)系上，雖然不等關(guān)系要比相等關(guān)系更加廣泛的存在于現(xiàn)實的世界里，但是人們對于不等式的認識要比方程要遲的多 .直到 17 世紀以后，不等式的理論才逐漸發(fā)展起來，成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的一個重要組成部分 . 在研究數(shù)學(xué)的不等式過程中，有許多的內(nèi)容都十分的有用，如：不等式的性質(zhì)、不等式的證明方法和不等式的解法 . 在本文中，我們就不一一說明了，而主要的介紹一些證明不等式的常用方法 、利用函數(shù)證明不等式的方法和利用一些著名不等式證明不等式的方法 .希望 通過這些方法 的學(xué)習(xí) ， 我們 可以 很好的 認識數(shù)學(xué)的一些特點 .從而開拓一下我們的數(shù)學(xué)視野，深化一下我們對不等式證明方法的認識，以便于可以站在更高的角度來研究數(shù)學(xué)不等式 . 湖南理工學(xué)院 本科畢業(yè)論文 5 1 利用函數(shù)證明不等式 函數(shù)極值法 通過變換，把某些問題歸納為求函數(shù)的極值，達到證明不等式的目的 . 例 1 設(shè) Rx? ，求證：812s in32c os4 ???? xx. 證明 81243s in2s in3s in21s in32c os)(22 ??????? ???????? xxxxxxf 當 43sin ?x 時， 。812)(max ?xf 當 1sin ??x 時， .4)( min ??xf 故 812s in32c os4 ???? xx . 單調(diào)函數(shù)法 當 x 屬于某區(qū)間， 有 0)( ?? xf ，則 )(xf 單調(diào)上升；若 0)( ?? xf ，則 )(xf 單調(diào)下降 .推廣之，若證 )()( xgxf ? ，只須證 )()( agaf ? 及 )),((),()( baxxgxf ????即可 . 例 2