【正文】 )2)(2()2()( baxfbaxbafbafxf ???????????? ? 兩邊在 ],[ ba 上積分并注意到 ? ???ba dxbax 0)2(得 ?? ???????? baba dxbaxfbafabdxxf 2)2)((21)2()()( ?, 從而得 24 )()2(2|)2)((|21|)2()()(| 322 abMdxbaxMdxbaxfbafabdxxf bababa ????????????? ??? ? 方法 2： 令 ?? xa dttfxF )()(,則 )()(),()(),()( xfxFxfxFxfxF ???????????? 且 )()()( aFbFdttfba ???（牛頓 萊布尼茲公式）， 由泰勒公式有： 湖南理工學院 本科畢業(yè)論文 15 312 )2(6 )()2)(2(212)2()2()( abFabbaFabbaFbaFbF ???????????????? ? （ 1）322 )2(6 )()2)(2(212)2()2()( baFbabaFbabaFbaFaF ???????????????? ? （ 2） 由（ 1） （ 2）得 ))()((48 )())(2()()( 213 ?? FFababbaFaFbF ?????????????? 所以 3213 )(24|)()(|48 )(|))(2()(| abMffababbafdxxfba ?????????????? ?? 例 )(xf 為 ]1,0[ 上的非負單調(diào)非增連續(xù)函數(shù)（即當 yx? 時 , )()( yfxf ? ） 證明 :對于 10 ??? ?? ,有下面的不等式成立 ? ??? ????0 )()( dxxfdxxf 證法 1： （用積分中值定理） 由題設及中值定理有 ? ???????? ??????? )(),)(())(()( 11 aaffdxxf 從而 ????? ??? ??? dxxfafdxxf )(1)()(1 0 因此可得 ? ??? ? ???? 0 )()()1( dxxfdxxf ? ??? ? ?????? 0 )()()1( dxxfdxxf 又因 10 ??? ?? ,所以 11 ????,故 ? ??? ????0 )()( dxxfdxxf。 Comparison method。 Mathematical induction。 證法 2： （用性質(zhì) 3） 分析 ： ? ??? ????0 )()( dxxfdxxf可化為 ??? ? ???? ???? ?? ???? 0)()()()( 00 dxxfdxxfdxxfdxxf 將 ? 換成 )( ??xx ,于是輔助函數(shù) .)()()(0 ?? ?? ??? ? dttfdttfxxF 令 ).()()()(0 ?? ??? ??? ?? xdttfdttfxxF ??? ????? ??? ? 000 )()()()()( dtxfdttfxfdttfxF ? ??? ?0 0)]()([ dtxftf(因為 )(xf 單調(diào)遞減 ) 湖南理工學院 本科畢業(yè)論文 16 所以 )(xF 單增 ,又因為 ? ???? ? ???0 0))(0,0()()( xfdttfF 所以 0)( ??F ,即 0(x )dx(x )dx0 ?? ?? ???? ff 故 ? ??? ????0 )()( dxxfdxxf 例 0?a ,函數(shù) )(xf 在 ],0[ a 上連續(xù)可微 , 證明： ?? ??? aa dxxfdxxfaf 00 )()(1)0( 證法 1： 因為 )(xf 在 ],0[ a 上連續(xù)可微 所以積分 ? ??a dxxfxa0 )()(存在 ,且 ? ? ????a a xfdxadxxfxa0 0 )]([)()()( ?? ????? aa dxxfdxxfxaaf00 )()()()0( ? ???? aa xadxfxfxa00 )()()()( ???? a dxxfaf 0 )()0( 因為 ?? ???? aa dxxfdxxfxaxaf00 )()()()( dxxfdxxfxa aa ?? ???? 00 )()()( dxxfdxxfa aa ?? ??? 00 )()( 所以 ?? ??? aa dxxfdxxfaf00 )()(1)0( 證法 2： 因為 )(xf 連續(xù) ,由積分中值定理 ,存在 ],0[ a?? ,使得 ? ?a afdxxf0 ξ)()( 又因為 ? ?? ξ0 (x )dx(0 )ξ)( fff 所以 ?? ?????? ?? ??00 )()()()()0( dxxffdxxfff ?? ??? aa dxxfdxxfa 00 )()(1 ? ? ??? a a dxxfdxxfa 0 0 )()(1 湖南理工學院 本科畢業(yè)論文 17 例 )(xf 為 ],[ ba 上的連續(xù)遞增函數(shù) ,則不等式成立： ? ???ba ba dxxfbadxxxf )(2)( （ 1） 證 明 ：（ 用 性質(zhì) 10） 要證（ 1）式只要證明 0)()2( ???? dxxfbaxba （ 2） 由于 )(xf 單調(diào)遞增 ,利用積分第二中值定理（性質(zhì) 10） ,則存在 ],[ ba?? ,使 ? ??ba dxxfbax )()2( ?? ?????? ba dxbaxbfdxbaxaf ?? )2()()2()( ?? ??????? bba dxbaxafbfdxbaxaf ? )2()]()([)2()( )](22)][()([ 22 ?? ?????? bbabafbf 0)(2)]()([ ????? abafbf ?? 故（ 2）成立 ,原不等式成立 例 16． 柯西不 等式的證明 證 明 :柯西不等式為 ??? ? bababa dxxgdxxfdxxgxf )()(])()([ 222。812)(max ?xf 當 1sin ??x 時， .4)( min ??xf 故 812s in32c os4 ???? xx . 單調(diào)函數(shù)法 當 x 屬于某區(qū)間， 有 0)( ?? xf ，則 )(xf 單調(diào)上升；若 0)( ?? xf ，則 )(xf 單調(diào)下降 .推廣之，若證 )()( xgxf ? ，只須證 )()( agaf ? 及 )),((),()( baxxgxf ????即可 . 例 2 證明不等式 xex ??1 ， .0?x 證明 ： 設 ,1)( xexf x ??? 則 .1)( ??? xexf 故當 0?x 時， fxf ,0)( ?? 嚴格遞增；當 fxfx ,0)(,0 ??? 嚴格遞減 .又因為 f在 0?x 處連續(xù)， 則當 0?x 時， ,0)0()( ?? fxf 從而證得 湖南理工學院 本科畢業(yè)論文 6 .0,1 ??? xxex 中值定理法 利用中值定理： )(xf 是在區(qū)間 ],[ ba 上有定義的連續(xù)函數(shù)，且可導，則存在 ? ，ba ??? ，滿足 ))(()()( abfafbf ???? ?來證明某些不等式，達到簡便的目的 . 例 3 求證： yxyx ??? sinsin . 證明 ： 設 xxf sin)( ? ，則 ?? c o s)(nsi)(s i ns