【正文】 sin2q)江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）Q163。 其中1163。xxy+y163。(x)在x206。(x)=22ln(1+x)22+2=[ln(1+x)x]，1+x1+x1+x 當(dāng)x206。(0,1)時,證明:(1+x)ln(1+x):本題是一個單邊不等式,很難直接看出兩者有什么聯(lián)系,因此聯(lián)想到采用作差的方法,:做函數(shù)f(x)=(1+x)ln(1+x)x,易得f(0)=0，221+x)2x,當(dāng)x=0時,f39。ln(x+1)163。)上的最大值為f(x)max=f(0)=0, 1江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）因此,當(dāng)x1時f(x)163。(1,0)上為增函數(shù), 當(dāng)x0時,f162。0 x+1 ∴ ln(x+1)179。(0,+165。(0,+165。(x)= =x+1x+1(x+1)2(x+1)2 當(dāng)x206。7 6 5 5 4 作差比較法 1 移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù) 導(dǎo)數(shù)ABSTRACTThis paper is mainly on the high school stage the inequality proof method and inequality proof methods varied, including parison, analysis, synthesis, reduction to absurdity, mathematical induction, scaling and other mon methods, and some students are not familiar with but also the methods used, such as construction method, vector method, derivation method, method and so words:The inequality proof。第一篇：高中數(shù)學(xué)不等式證明常用方法本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文中學(xué)證明不等式的常用方法所在學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)姓 名： 張俊學(xué) 號： 1010510020 指導(dǎo)教師： 曹衛(wèi)東完成日期： 2014年04月15日）摘 要,其中有比較法,分析法,綜合法,反證法,數(shù)學(xué)歸納法,放縮法等常見的方法,另有一些學(xué)生比較不熟悉但也經(jīng)常采用的方法,如構(gòu)造法,向量法,求導(dǎo)法,: 不等式的證明。function。1 作差法構(gòu)造函數(shù)3 主元法構(gòu)造函數(shù) 11江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）眾所周知,它在數(shù)學(xué)研究與應(yīng)用中起著不可忽視的作用,因此,研究不等式的方法至關(guān)重要,許多數(shù)學(xué)家在這一領(lǐng)域取得豐碩的成果,他們的成就舉世矚目,縱觀近幾年的高考,不等式的證明每年都有涉及,一般都出現(xiàn)在最后一題,可見它的困難和重要程度,因此不等式證明的學(xué)習(xí)既是重點(diǎn)也是難點(diǎn),有必要對不等式的證明方法做一個全面的,科學(xué)的,【例1】 已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)x,求證：當(dāng)x1時,恒有11163。(1,0)時,g162。)時,g162。)上為增函數(shù),故函數(shù)g(x)在(1,+165。1 再證右邊,f162。(x)0,即f(x)在x206。f(0)=0,即ln(x+1)x163。x x+1【啟迪】: 如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最?。ù螅┲?則有f(x)179。(x)=0而f39。(0,1)時,f39。(0,1)上遞減,即f39。163。2x2+y2163。1sin2q163。3,r179。(x)f(x)恒成立,且常數(shù)a ,b滿足0ab,求證:af(a)xf(x)，162。2(a2+b2+c2)+4d，179。0\其判別式 Q江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）,c看成未知量,可得ca179?！締⒌稀?有些復(fù)雜的不等式可以看成一個未知量的簡單不等式,再找?guī)讉€未知量之間的關(guān)系,【例6】 當(dāng)abe時,證明a:要證ab,只要證lnababablnba,即證明blnaalnb0, 也就是要證明blnxxlnb,因此構(gòu)造函數(shù)f(x)=blnxxlnb,然后只需要證明 證:要證ab,只要證lnabaf(x) xblnba即證blnaalnb0設(shè)f(x)=blnxxlnb(xbe),則f162。1).分析:用作差法來做,則需去掉絕對值,必須要分a1和0a1兩種情況來考慮:(1)當(dāng)0a1時,Q01x1,11+x2\loga(1x)loga(1+x)=loga(1x)+loga(1+x)=loga(1x)Q0x1,\01x1\loga(1x)0,得證.（2）當(dāng)a1時,Q01x1,11+x2\ loga(1x)loga(1+x)=loga(1x)loga(1+x)=loga(1x)Q0x1,\01x122222 江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）\loga(1x)0,（1）（2）可得loga(1x)loga(1+x).【啟迪】:當(dāng)不等式兩邊的式子比較相近,【例2】 設(shè)a,b206。N)【例1】 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為sn=12(1)設(shè)xn=(2n+1)sn,求證:數(shù)列{xn}+++..........+(2)當(dāng)n179。f(2), 111136163。1,R,且方程有解,\根的判別式d=b24ac179。1,(y5)4(y5y+8)179。3235。233。1,(1a)b163。3 ? 2 顯然?與?相矛盾,所以假設(shè)不成立.\(1a)b,(1b)c,(1c)a,【啟迪】:命題中出現(xiàn)“至少”,“都”,“同時”,“至多”等字樣時,可以采用反證法, 反證的關(guān)鍵在于找出與命題相反的結(jié)論,a2b2c2++179。23江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）Qa1,b1,c++179。0，() 即證4(ab)233(ab)+8179。163。41125a2+1b2+125= \(a+)(b+)ab4ab44a2b2+33ab+8(14ab)(8ab)=179。 故設(shè)a=sina,b=cosa,a206。2248。.\(4sin2a)+16179。f(y2)＞f(1)}，集合B={(x，y)|f(ax－g+2)=1，a∈R}，若A∩B=198。全國Ⅱ）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．已知a1＝a，an+1＝Sn＋3n，n∈N*．(Ⅰ)設(shè)bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范圍．【點(diǎn)評】 一般地，如果求條件與前n項(xiàng)和相關(guān)的數(shù)列的通項(xiàng)公式，則可考慮Sn與an的關(guān)系求解題型二 數(shù)列參與的不等式的證明問題此類不等式的證明常用的方法：(1)比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；(2)分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法分析；(3)放縮法，主要是通過分母分子的擴(kuò)大或縮小、項(xiàng)數(shù)的增加與減少等手段達(dá)到證明的目的.【例3】 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，a3＝7，S4＝24．(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)p、q都是正整1數(shù)，且p≠q，證明：Sp+q＜(S2p＋S2q)．【點(diǎn)評】 利用差值比較法比較大小的關(guān)鍵是對作差后的式子進(jìn)行變形，途徑主要有：（1）2因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，則利用通分；（4）如果涉及根式，則利用分子或分母有理化.【例4】(08163。(2)求證: 3Pn+1+Pn例5 已知函數(shù)=1(n179。N)4f(x)=x2+x.(1)數(shù)列{an}滿足: a10,an+1=f162。2i=11+ai,Sk為數(shù)列{}的前k項(xiàng)和, Tk為數(shù)列{}的1+bnn(2)數(shù)列{bn}滿足: b1=1,bn+1=f(bn)(n206。1+232。247。2)②ane2(n179。因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，有時可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性,然后再用函數(shù)單調(diào)性達(dá)到證明不等式的目的。，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，有時可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最值；由當(dāng)該函數(shù)取最大（或最小）值時不等式都成立，可得該不等式恒成立。R),對f(x)定義域內(nèi)任意的x的值，f(x)≥27恒成立，求a的取值范圍xnn1例已知a＞0，n為正整數(shù)，（Ⅰ）設(shè)y=(xa)，證明y162。=1111+t1+t2(+t1)(+t2)22221152222(+t1+t1+1)(+t2+t2+1)(+t2)2t2==1122t2t2442532254+t2+t225=179。2(1ab)+1179。1=222。222。4239。1,\4sin22a179。(4sin22a)225179。239。1比較法比較法是證明不等式的最基本方法，具體有“作差”比較和“作商”比較兩種。例4，設(shè)a0，b0，a+b=1，證明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252證明：∵ a0，b0，a+b=1∴ab≤14或1ab≥4左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)22ab］+(a+b)22aba2b2=4+(12ab)+12aba2b2≥4+(112)+8=252練習(xí)3：已知a、b、c為正數(shù)，n是正整數(shù)，且f(n)=1gan+bn+3求證：2f（n）≤f（2n）4分析法從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個條件是可以證明或已經(jīng)證明的不等式時，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2綜上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2練習(xí)5：已知：a＜2，求證：loga(a+1)＜16換元法換元法是許多實(shí)際問題解決中可以起到化難為易，化繁為簡的作用，有些問題直接證明較為困難，若通過換元的思想與方法去解就很方便，常用于條件不等式的證明，常見的是三角換元。1sec2θ=1cos2θcosθ例8：已知 x1=y+12=z23，求證：x2+y2+z2≥4314證明：設(shè)x1=y+12=z23=k于是x=k+1，y=zk1，z=3k+2把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k1)2+(3k+2)2=14(k+514)2+4314≥43147反證法有些不等式從正面證如果不好說清楚，可以考慮反證法，即先否定結(jié)論不成立，然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理，逐步推導(dǎo)出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論，從而肯定原有結(jié)論是正確的，凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題，適宜用反證法。例10：設(shè)n∈N，且n＞1,求證：(1+13)(1+15)…(1+12n1)＞2n+12分析：觀察求證式與n有關(guān)，可采用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=2時，左= 43，右=52∵43＞52∴不等式成立（2）假設(shè)n=k(k≥2，k∈n)時不等式成立，即（1+13）（1+15）…