【正文】 b1a2≤1分析：通過觀察可直接套用： xy≤x2+y22證明： ∵a1b2b1a2≤a2+(1b2)2+b2(1a2)2=1∴b1a2+a1b2≤1，當且僅當a1+b2=1時，等號成立練習(xí)2：若 ab0，證明a+1(ab)b≥33綜合法綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)推算出要證明不等式。因此，中值定理的實質(zhì)是由不等式的形式揭示出來的.第二篇：證明不等式方法不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個難點，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯法多種多樣，本節(jié)通這一些實例，歸納整理證明不等式時常用的方法和技巧。f39。=1j=k+1n即有 Gn163。qj242。k163。a1163。baf變成F(x)=242。=12nnn167。0，i=1,2,L,不等式：An=n證明：AG不等式219。0等價于f(x)179。k=1則f在[165。nk=1證明：令f(x)=239。1nx1x239。f(x2)，則稱f在E上遞增；若f(x1)f(x2)，則稱f在E上嚴格遞增；若f(x1)179。km)成立可推出P(k+1)成立，則P(n)對所有不超過m的n都成立.(3)、(反向歸納法)設(shè)有無窮多個自然數(shù)n(例如n=2)，使得P(n)成立，且從P(k+1)成立可推出P(k)成立，則P(n)對所有n成立.(4)、若P(1)成立，且P(n)對所有滿足1163。nn幾個簡單的證明方法一、比較法：ab等價于ab0；而ab0等價于a b，關(guān)鍵是要作適當?shù)淖冃?，如因式分解、拆項、加減項、通分等，、綜合法與分析法：綜合法是由因?qū)Ч?，即是由已知條件和已知的不等式出發(fā)，推導(dǎo)出所要證明的不等式；分析法是執(zhí)果索因，即是要逐步找出使結(jié)論成立的充分條件或者充要條件，：第一，要熟悉掌握第一章的基本不等式和后面各章中著名的各種不等式；第二，要善于利用題中的隱含條件；第三，、反證法：，從原不等式的結(jié)論的反面出發(fā)，通過合理的邏輯推理導(dǎo)出矛盾，、放縮法：要證ab，又已知(或易證)ac，則只要證cb，這是利用不等式的傳遞性，將原不等式里的某些項適當?shù)姆糯蠡蚩s小，：①添加或舍去一些項，如：a+1a；n(n+1)n； ②將分子或分母放大（或縮?。?； ③利用基本不等式，如：log3lg5（lg3+lg52)=lglg=lg4； 2n+(n+1)n(n+1)；④利用常用結(jié)論：k+1k=1k+1+k12k；11111111== ；（程度大）22k(k1)k1kk(k+1)kk+1kk111111==()；（程度小）22(k1)(k+1)2k1k+1kk1五、換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，：已知x2+y2=a2，可設(shè)x=acosq,y=asinq；已知x2+y2163。＜ 中某一個)，兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域，不等式既可以表達一個命題，也可以表示一個問題?！薄?63。只要有一邊是超越式，就稱為超越不等式。1，ex＞0，2x＜3，5x185。第一篇：證明不等式方法探析167。5不等符號的式子，＋2y179。例如是超越不等式?！边B接的不等式稱為非嚴格不等式，或稱廣義不等式。167。1，可設(shè)x=rcosq,y=rsinq(0163。n163。f(x2)，則稱f在E上遞減；若f(x1)f(x2)，即Df(x)=f(x+Dx)f(x)當Dx，不等式：An=a1+a2+L+an179。(229。(a)n,x=0213。,165。0.有些f(x)形式上不是代數(shù)式，例如，f(x)=asinxcosx+b(sinx+cosx)+1,(a0)，令t=sinx+cosx，就可以化為t的二次三項式；有時也可以利用卡丹公式：三次代數(shù)多項式f(x)=x3+px+q有三個實根的充要條件是判別式()+()163。求f(x)=(x1x2Lxn)在條件x1+x2+L+xn=(x)=(x1x2Lxn)+l(x1+x2+L+xna).n1nF對xk求偏導(dǎo)數(shù)Fx39。2 微積分法一、微分方法：為證f(x)g(x)，有時歸結(jié)為證f162。f，對F求導(dǎo)數(shù)，axa1+a2+L+an179。a2163。n1，使得ak163。()dt+229。、利用中值定理：，它們都是寫成等式形式，例如f(b)f(a)=f162。(x)163。1比較法比較法是證明不等式的最基本方法，具體有“作差”比較和“作商”比較兩種。例4，設(shè)a0，b0，a+b=1，證明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252證明：∵ a0，b0，a+b=1∴ab≤14或1ab≥4左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)22ab］+(a+b)22aba2b2=4+(12ab)+12aba2b2≥4+(112)+8=252練習(xí)3：已知a、b、c為正數(shù)，n是正整數(shù)，且f(n)=1gan+bn+3求證：2f（n）≤f（2n）4分析法從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個條件是可以證明或已經(jīng)證明的不等式時，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2綜上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2練習(xí)5：已知：a＜2，求證：loga(a+1)＜16換元法換元法是許多實際問題解決中可以起到化難為易，化繁為簡的作用，有些問題直接證明較為困難，若通過換元的思想與方法去解就很方便，常用于條件不等式的證明，常見的是三角換元。1sec2θ=1cos2θcosθ例8：已知 x1=y+12=z23，求證：x2+y2+z2≥4314證明：設(shè)x1=y+12=z23=k于是x=k+1，y=zk1，z=3k+2把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k1)2+(3k+2)2=14(k+514)2+4314≥43147反證法有些不等式從正面證如果不好說清楚，可以考慮反證法，即先否定結(jié)論不成立，然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理，逐步推導(dǎo)出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論，從而肯定原有結(jié)論是正確的，凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題，適宜用反證法。例10：設(shè)n∈N，且n＞1,求證：(1+13)(1+15)…(1+12n1)＞2n+12分析：觀察求證式與n有關(guān)，可采用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當n=2時，左= 43，右=52∵43＞52∴不等式成立（2）假設(shè)n=k(k≥2，k∈n)時不等式成立，即（1+13）（1+15）…（1+12k1)＞2k+12 那么當n=k+1時，(1+13)(1+15)…(1+12k1)(1+12k+1)＞2k+121構(gòu)造函數(shù)法例11：證明不等式：x12x ＜x2（x≠0）證明：設(shè)f（x）=x12xx2（x≠0）∵f(x)=x12x+x2x2x2x1+x2=x12x［1(12x)］+x2=x12xx+x2=f（x）∴f（x）的圖像表示y軸對稱∵當x＞0時，12x＜0，故f（x）＜0∴當x＜0時，據(jù)圖像的對稱性知f（x）＜0∴當x≠0時，恒有f（x）＜0 即x12x＜x2（x≠0）練習(xí)9：已知a＞b，2b＞a+c，求證：bb2ab＜a＜b+b2ab2構(gòu)造圖形法例12：若f（x）=1+x2，a≠b，則|f（x）f（b）|＜ |ab|分析：由1+x2 的結(jié)構(gòu)可知這是直角坐標平面上兩點A(1，x)，0(0，0)的距離即 1+x2 =(10)2+(x0)2于是如下圖，設(shè)A(1，a)，B(1，b)則0A= 1+a2 0B=1+b2|AB|=|ab|又0A||0B＜|AB|∴|f(a)f(b)|＜|ab|練習(xí)10：設(shè)a≥c，b≥c，c≥0，求證 c(ac)+c(bc)≤ab10添項法某些不等式的證明若能優(yōu)先考慮“添項”技巧，能得到快速求解的效果。2ca+c正解：x=y得23 ≤c≤23，故猜想c= 23,下證不等式 x2x+y+ yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+