【正文】 ∴aabb＞abba練習(xí)1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）2基本不等式法利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及變形有：（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取等號）（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取等號）（3）若a、b同號，則 ba+ab≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取等號）例3 若a、b∈R，｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1b2+b1a2≤1分析：通過觀察可直接套用： xy≤x2+y22證明： ∵a1b2b1a2≤a2+(1b2)2+b2(1a2)2=1∴b1a2+a1b2≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a1+b2=1時，等號成立練習(xí)2：若 ab0，證明a+1(ab)b≥33綜合法綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式性質(zhì)推算出要證明不等式。用數(shù)學(xué)歸納法證題時的兩個步驟缺一不可。正解：應(yīng)用比較法：yn1xn+xn1yn1x1y=(xnyn)(xn1yn1)xnyn① 當(dāng)x0,y0時，(xnyn)(xn1yn1)≥ 0，(xy)n 0所以(xnyn)(xn1yn1)xnyn≥0故：yn1xn+xn1yn≥ 1x1y② 當(dāng)x,y有一個是負(fù)值時，不妨設(shè)x0,y0，所以x|y|又n為偶數(shù)時,所以(xnyn)(xn1yn1)0 又(xy)n 0，所以(xnyn)(xn1yn1)xnyn ≥0即 yn1xn+xn1yn≥ 1x1y綜合①②知原不等式成立第三篇：不等式證明若干方法安康學(xué)院 數(shù)統(tǒng)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 專業(yè) 11 級本科生論文（設(shè)計）選題實習(xí)報告11級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)《科研訓(xùn)練2》評分表注：綜合評分179。an≤a1+a2+188。2abc2222b(c+a)179。21=2[4]設(shè)a,b,c206。180。180。0=a+(1a)+4=2a2a+即(a+2)2+(b+2)2179。a247。a+b179。22232。An+nA(n1)Bni=0\(A+B)179。t247。222235。22238。k=11ksinkx0,(0xp)就要綜合運用數(shù)學(xué)歸納法，反證法與極值法；有時可將n換成連續(xù)量x，、構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式；證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式的最基本方法．要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點．、利用基本不等式：善于利用已知不等式，特別是基本不等式去發(fā)現(xiàn)和證明新的不等式，例1 已知a，b206。180。180。x1ii22331+xi1+xi10111927++163。=422即 4a+1+4b+1+4c+1+4d+1163。b時，（a+）(b+)≥.故可設(shè)a=+xab2411b= x,(|x|且x185。2sinA+B2+c+π322 =4sinπ3=332∴sinA+sinB≠sinC≤332練習(xí)11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC2≤184利用均值不等式等號成立的條件添項例16 ：已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，求證a4+b4＞ 18分析：若取消a≠b的限制則a=b= 12時，等號成立證明：∵a、b∈R+∴a4+3(12)4 ≥ 44a4 ［(12)4］3=12a①同理b4+3(12)4 ≥b②∴a4+b4≥12(a+b)6(12)4=126(12)4=18③∵a≠b ∴①②中等號不成立∴③中等號不成立∴ 原不等式成立1．是否存在常數(shù)c，使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y對任意正數(shù)x,y恒成立？ 錯解：證明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恒成立，故說明c存在。cos2θ=sinθ∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1復(fù)習(xí)6：已知1≤x2+y2≤2，求證：12 ≤x2xy+y2≤3(2)比值換元：對于在已知條件中含有若干個等比式的問題，往往可先設(shè)一個輔助未知數(shù)表示這個比值，然后代入求證式，即可。因此，中值定理的實質(zhì)是由不等式的形式揭示出來的.第二篇：證明不等式方法不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個難點，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯法多種多樣，本節(jié)通這一些實例，歸納整理證明不等式時常用的方法和技巧。k163。0，i=1,2,L,不等式：An=n證明：AG不等式219。1nx1x239。＜ 中某一個)，兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域，不等式既可以表達(dá)一個命題，也可以表示一個問題。第一篇：證明不等式方法探析167。167。(229。求f(x)=(x1x2Lxn)在條件x1+x2+L+xn=(x)=(x1x2Lxn)+l(x1+x2+L+xna).n1nF對xk求偏導(dǎo)數(shù)Fx39。n1，使得ak163。1比較法比較法是證明不等式的最基本方法，具體有“作差”比較和“作商”比較兩種。例8：已知 x1=y+12=z23，求證：x2+y2+z2≥4314證明：設(shè)x1=y+12=z23=k于是x=k+1，y=zk1，z=3k+2把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k1)2+(3k+2)2=14(k+514)2+4314≥43147反證法有些不等式從正面證如果不好說清楚，可以考慮反證法，即先否定結(jié)論不成立，然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理，逐步推導(dǎo)出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論，從而肯定原有結(jié)論是正確的，凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題，適宜用反證法。正解：x=y得23 ≤c≤23，故猜想c= 23,下證不等式 x2x+y+ yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恒成立。0)22證：考慮a與b都去特殊值,既當(dāng)a=b=時有（2+）（2+）=4則a2+1b2+1(a2+1)(b2+1)(ab1)2+111（a+）(b+)=== abababab33(+x2)2+1(+x2)2+125=44=.114x244故原不等式得證.（2）利用分子有理化證明不等式分母有理化是初中數(shù)學(xué)教材中重要知識,它有著廣泛的應(yīng)用,而分子有理化也隱含于各種習(xí)題之中,它不但有各種廣泛的作用,[1] 求證131212+11 \113+12113+12,1211=112+11, 112+11即 1312四種“平均”之間的關(guān)系,既調(diào)和平均數(shù)H(a)≤幾何平均數(shù)G(a)≤第4頁（共13頁）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級年論文(設(shè)計)算數(shù)平均數(shù)A(a)≤平方平均數(shù)Q(a).寫得再詳細(xì)些就是：若a1,a2,a3188。6 故原命題得證.（6）用“雙十字法”證明不等式 已知x,y0并且x+y=1 求證：x2+3xy+2y22xy32x221xy11y24x+21y+2證：因 x2+3xy+2y22xy3=(x+2y)(x+y)2xy3第6頁（共13頁）數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2009級年論文(設(shè)計)=(x+2y3)(x+y+1)0 類似的，2x221xy11y24x+21y+2=(2x+y2)(x11y1)0 故結(jié)論成立.（7）用恒等變形推導(dǎo)[2] 求證：對于任意角度q,都有5+8cosq+4cos2q+cos3q≥0證：5+8cosq+4cos2q+cos3q=5+8cosq+4(2cos2q1)+(4cos3q3cosq)=1+5cosq+8cos2q+4cos3q=(1+cosq)(4cos2q+4cosq+1)=(1+cosq)(2cosq+1)2179。180。188。故 180。R，且a+b=：(a+2)+(b+2)179。顯然成立，：分析法是基本的數(shù)學(xué)方法，使用時，要保證“后一步”是“前一步”：(綜合法)由上分析法逆推獲證(略).證法四：(反證法)假設(shè)(a+2)2+(b+2)2252，則 a2+b2+4(a+b)+8252252.由a+b=1，得b=1a，于是有a2+(1a)2+121246。=2t+179。A+nAnn(n1)B。2248。a+b246。所以(a)0，這與231。R,a+b=1\b=1a\(a+2)+(b+2)252=a+b+4(a+b)12=2(a12)179。188。1212342n11.2n2n+132n1242n,B=180。1,求證：| x2+2xyy2|≤：令x=rcosq,y=rsinq則 | x2+2xyy2|=|r2(c