【正文】 不等式的證明若能優(yōu)先考慮“添項(xiàng)”技巧，能得到快速求解的效果。2k+22k+1＞2k+32②對(duì)于②〈二〉2k+2＞2k+1例10：設(shè)n∈N，且n＞1,求證：(1+13)(1+15)…(1+12n1)＞2n+12分析：觀察求證式與n有關(guān)，可采用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左= 43，右=52∵43＞52∴不等式成立（2）假設(shè)n=k(k≥2，k∈n)時(shí)不等式成立，即（1+13）（1+15）…（1+12k1)＞2k+12 那么當(dāng)n=k+1時(shí)，(1+13)(1+15)…(1+12k1)(1+12k+1)＞2k+12證明：解設(shè)p+q＞2，那么p＞2q∴p3＞（2q）3=812q+6q2q3將p3+q3 =2，代入得 6q212q+6＜0即6（q1）2＜0 由此得出矛盾∴p+q≤2練習(xí)7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞：a＞0，b＞0，c＞08數(shù)學(xué)歸納法與自然數(shù)n有關(guān)的不等式，通?？紤]用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明。例8：已知 x1=y+12=z23，求證：x2+y2+z2≥4314證明：設(shè)x1=y+12=z23=k于是x=k+1，y=zk1，z=3k+2把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k1)2+(3k+2)2=14(k+514)2+4314≥43147反證法有些不等式從正面證如果不好說(shuō)清楚，可以考慮反證法，即先否定結(jié)論不成立，然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理，逐步推導(dǎo)出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論，從而肯定原有結(jié)論是正確的，凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題，適宜用反證法。s2mθ1sec2θ=1cos2θcosθ例若x、y∈R+,且 xy=1 A=(x1y)(y+1y)。證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2綜上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2練習(xí)5：已知：a＜2，求證：loga(a+1)＜16換元法換元法是許多實(shí)際問(wèn)題解決中可以起到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的作用，有些問(wèn)題直接證明較為困難，若通過(guò)換元的思想與方法去解就很方便，常用于條件不等式的證明，常見(jiàn)的是三角換元。要證cc2ab＜a＜c+c2ab只需證c2ab＜ac＜c2ab證明：即證 ｜ac｜＜c2ab即證(ac)2＜c2ab即證 a22ac＜ab∵a＞0，∴即要證 a2c＜b 即需證2+b＜2c，即為已知∴ 不等式成立練習(xí)4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）25放縮法放縮法是在證明不等式時(shí)，把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來(lái)證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強(qiáng)常用技巧有：（1）舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)），（2）在和或積中換大（或換小）某些項(xiàng)，（3）擴(kuò)大（或縮小）分式的分子（或分母）等。例4，設(shè)a0，b0，a+b=1，證明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252證明：∵ a0，b0，a+b=1∴ab≤14或1ab≥4左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)22ab］+(a+b)22aba2b2=4+(12ab)+12aba2b2≥4+(112)+8=252練習(xí)3：已知a、b、c為正數(shù)，n是正整數(shù)，且f(n)=1gan+bn+3求證：2f（n）≤f（2n）4分析法從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個(gè)條件是可以證明或已經(jīng)證明的不等式時(shí)，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。當(dāng)求證的不等式兩端是分項(xiàng)式（或分式）時(shí)，常用作差比較，當(dāng)求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數(shù)式時(shí)常用作商比較）例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab2分析：由題目觀察知用“作差”比較，然后提取公因式，結(jié)合a+b≥0來(lái)說(shuō)明作差后的正或負(fù)，從而達(dá)到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負(fù)。1比較法比較法是證明不等式的最基本方法，具體有“作差”比較和“作商”比較兩種。f(b)f(a)163。(x)163。(x)的上、下界：m163。、利用中值定理：，它們都是寫成等式形式，例如f(b)f(a)=f162。()dt179。()dt+229。ak+knGn1ajAn111示An(a,q),Gn表示Gn(a,q)，則1=229。n1，使得ak163。an，于是必存在某個(gè)k,1163。a2163。0，i=1,2,L,證明：不妨設(shè)0163。f，對(duì)F求導(dǎo)數(shù)，axa1+a2+L+an179。(x)，可使問(wèn)題簡(jiǎn)化，常將積分上限b換成變量x，、積分方法：，除了通常的黎曼積分、勒貝格積分外，不等式：An=242。2 微積分法一、微分方法：為證f(x)g(x)，有時(shí)歸結(jié)為證f162。An.=，所以163。求f(x)=(x1x2Lxn)在條件x1+x2+L+xn=(x)=(x1x2Lxn)+l(x1+x2+L+xna).n1nF對(duì)xk求偏導(dǎo)數(shù)Fx39。=Gn，其中ai,bi179。0.有些f(x)形式上不是代數(shù)式，例如，f(x)=asinxcosx+b(sinx+cosx)+1,(a0)，令t=sinx+cosx，就可以化為t的二次三項(xiàng)式；有時(shí)也可以利用卡丹公式：三次代數(shù)多項(xiàng)式f(x)=x3+px+q有三個(gè)實(shí)根的充要條件是判別式()+()163。、拋物線(二次方程)技巧：某些代數(shù)式配方后，化為f(x)=ax2+bx+c的形式，若a0，則D=b4ac163。,165。238。(a)n,x=0213。0239。(229。0，i=1,2,L,236。f(x2)，則稱f在E上遞減；若f(x1)f(x2)，即Df(x)=f(x+Dx)f(x)當(dāng)Dx，不等式：An=a1+a2+L+an179。E,x1x2,f(x1)163。n163。1)；x2y2已知2+2=1，可設(shè)x=acosq,y=bsinq；abx2y2已知22=1，可設(shè)x=asecq,y=btanq；ab六、數(shù)學(xué)歸納法法：與自然數(shù)n有關(guān)的許多不等式，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明，：第一，：設(shè)P(n)是與n有關(guān)的命題，則(1)、設(shè)P(n0)成立，且對(duì)于任意的kn0，從P(k)成立可推出P(k+1)成立，則P(n)對(duì)所有大于n0的n都成立.(2)、設(shè)m是任給的自然數(shù)，若P(1)成立，且從P(k)(1163。1，可設(shè)x=rcosq,y=rsinq(0163。通過(guò)邏輯推理，可以論證大量的初等不等式，下面將介紹一些重要的不等式。167。G(x,y，L,z)(其中不等號(hào)也可以為＞，179。”連接的不等式稱為非嚴(yán)格不等式，或稱廣義不等式。一般地，用純粹的大于號(hào)、小于號(hào)“＞”“＜”連接的不等式稱為嚴(yán)格不等式，用不小于號(hào)(大于或等于號(hào))、不大于號(hào)(小于或等于號(hào))“179。例如是超越不等式。根據(jù)解析式的分類也可對(duì)不等式分類，不等號(hào)兩邊的解析式都是代數(shù)式的不等式，稱為代數(shù)不等式；也分一次或多次不等式。5不等符號(hào)的式子，＋2y179。在一個(gè)式子中的數(shù)的關(guān)系,不全是等號(hào),含sinx163。第一篇：證明不等式方法探析167。1 不等式的定義用不等號(hào)將兩個(gè)解析式連結(jié)起來(lái)所成的式子。1，ex＞0，2x＜3，5x185。2xy，等。只要有一邊是超越式，就稱為超越不等式。lg(1＋x)＞x不等式分為嚴(yán)格不等式與非嚴(yán)格不等式。”“163。通常不等式中的數(shù)是實(shí)數(shù)，字母也代表實(shí)數(shù)，不等式的一般形式為F(x,y，L,z)163。＜ 中某一個(gè))，兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域，不等式既可以表達(dá)一個(gè)命題，也可以表示一個(gè)問(wèn)題。2 不等式的最基本性質(zhì)性質(zhì)1：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；(對(duì)稱性)性質(zhì)2：如果x＞y，y＞z；那么x＞z；(傳遞性)性質(zhì)3：如果x＞y，而z為任意實(shí)數(shù)或整式，那么x＋z＞y＋z；(加法則)性質(zhì)4：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz；(乘法則)性質(zhì)5：如果x＞y，z＞0,那么xyxy＞；如果x＞y，z＜0，那么； zzzz性質(zhì)6：如果x＞y，m＞n，那么x+m＞y+n；(充分不必要條件)性質(zhì)7：如果x