【正文】 確性， 已知ab0，n是大于1的整數(shù)，求證：na 假設(shè) na163。1，179。a，這與已知矛盾，所以na把所要證明的結(jié)論先分解為幾個(gè)較簡(jiǎn)單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質(zhì)， 已知：a1+a2+L+an=1，b1+b2+L+bn=1，求證: a1b1+a2b2+L+anbn163。a1+a2+L+an180。1=1，222中原工學(xué)院[5]在證題過程中，根據(jù)不等式的傳遞性，常采用舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）而使不等式的各項(xiàng)之和變?。ɑ蜃兇螅?，或把和（或積）里的各項(xiàng)換以較大（或較?。┑臄?shù)，或在分式中擴(kuò)大（或縮?。┓质街械姆肿樱ɑ蚍帜福胺拧?、“縮”得當(dāng)，：改變分子（分母）放縮法、拆補(bǔ)放縮法、編組放縮法、尋找“中介量” 求證： 180。180。L180。34180。=122180。5622180。9999100001212180。L180。N)的不等式，當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)不等式成立，如果使不等式在n=k(n206。R+，n206。1，求證：an+bn179。ab+ab=2ab，不等式成立；（2）若n=k時(shí)，ak+bk179。a(ak1b+abk1)abk+bk+1=akb+abk+(a2bk12abk+bk+1)=akb+abk+bk1(ab)2179。akb+（1）、（2），an+bn179。證明 設(shè)a=13t，b=13at(t206。1246。1246。1246。1249。1246。1249。t247。at247。at247。+(1+a)tt247。+(1+a)t3248。3248。3248。33248。313，13所以 ab+bc+ca163。 設(shè)a=sinq，則b=cosq；設(shè)x=sinj，則y=cosj 所以 ax+by=sinqsinj+cosqcosj=cos(qj)163。R，且x2+y2=1，求證：yax163。R，1+a2185。0，即(2am)24(1+a2)(m21)179。1+a2，故yax163。p，且x1+x2+L+xn為常數(shù)，則當(dāng)xi的值之間越接近時(shí)，f(x1,x2,L,xn)[7]的值越大（或不變）；當(dāng)x1=x2=L=xn時(shí)，f(x1,x2,L,xn)取最大值，即中原工學(xué)院nf(x1,x2,L,xn)=sinx1sinx2Lsinxn163。sin證明：記A+B=C，則f(x)=+B2=sinAsin(CA)sin2C2, 求導(dǎo)得 f162。(A)=0得 C=2A，即A= f162。(A)=cos(BA)0, 知f162。(A)=0， 設(shè)A,B,C為三角形的三內(nèi)角，求證：sin證明 由標(biāo)準(zhǔn)化定理得，當(dāng)A=B=C時(shí)，sinA2=sinB2=sinA2sinC2B2=sin12C2A2sinB2sinC2163。181故 .應(yīng)用一些等式的結(jié)論，（1956年波蘭數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）、a,b,c為DABC的三邊長(zhǎng)，求證：2ab+2ac+2bca+b+(a+b+c)證明 由海倫公式SDABC=兩邊平方，移項(xiàng)整理得16(SDABC)2p(pa)(pb)(pc)，其中p=.=2ab+2ac+2bcabc222222444而SDABC0, 所以 2a2b2+2a2c2+2b2c2a4+b4+按照一定的法則，把一個(gè)數(shù)或式分解為幾個(gè)數(shù)或式，使復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單易解的基中原工學(xué)院本問題，以便分而治之，各個(gè)擊破， n179。N，求證：1+證明 因?yàn)?1+12+13+L+112+13+L+1nn(nn+11).230。230。230。+n=(1+1)+231。+231。+L+231。n232。232。232。=2+32+43+L+12n+1n13n180。32180。L180。nn+ 1+[910]++L+n(nn+11).在證明不等式時(shí)，有時(shí)通過構(gòu)造某種模型、函數(shù)、恒等式、復(fù)數(shù)等，可以達(dá)到簡(jiǎn)捷、明快、 已知：x2+y2163。2，求證：b(x2y2)+2axy163。1，z2163。z2=(x+yi)2(a+bi)=[a(x2y2)2bxy]+[b(x2y2)+2axy]ib(xy)+2axy=Im(z1180。z12222180。2故 b(x2y2)+2axy163。a2163。an，b1163。L163。a1bt1+a2bt2+L+anbtn163。亂序和163。ab+bc+cd+ 因?yàn)閍,b,c,d206。ab+bc+cd+[12]中原工學(xué)院借助幾何圖形， 已知：a,b,m206。R，求證：4163。2證明 f(x)=cos2x+3sinx=12sin當(dāng)sinx=+3sinx=2231。+24248。時(shí)，f(x)max=2。cos2x+3sinx163。(x)179。(x)163。g(x)，只須證f(a)=g(a)及f162。g162。(a,b)) 19 證明不等式ex1+x，x185。(x)=0時(shí)，f162。(x)0,=0處連續(xù)，則當(dāng)x185。0利用中值定理：f(x)是在區(qū)間[a,b]上有定義的連續(xù)函數(shù)，且可導(dǎo)，則存在x，axb，滿足f(b)f(a)=f162。 設(shè) f(x)=sinx，則sinxsiny=(xy)sin162。(xy)cosx163。3abc, 其中a,b, 設(shè)拉格朗日函數(shù)為對(duì)L(x,y,z,l)=xyz+l(1x+1y+1z1r).對(duì)L求偏導(dǎo)數(shù)并令它們都等于0，則有Lx=yzlx2=0，Ly=zxly2=0，Lz=xylx2=0，Ll=1x+1y+1z1r=，易的1x=1y=1z=xyz=，求出m==y=z=3r,l=(3r)+1y+1z=1r為了判斷f(3r,3r,3r)=(3r)3是否為所求條件極小值，我們可把條件看作隱函數(shù)z=z(x,y)（滿足隱函數(shù)定理?xiàng)l件），并把目標(biāo)函數(shù)f(x,y,z)=xyz(x,y)=F(x,y)看作f與z=z(x,y)，：zx=zx22,zy=zy22，F(xiàn)x=yzyzx2,Fy=xzxzy2，中原工學(xué)院F=2yz3,F=zz2z2+2z3，xxx3xyyxxy2xz3Fyy==y=z=3r時(shí)，F(xiàn)xx=6r=Fyy,Fxy=3r，F(xiàn)2xxFyyF=27r2，所求得的穩(wěn)定點(diǎn)為極小值點(diǎn)，179。[3(11a+1b+1c)]3或 3(1+11ab+1c)163。na1a2Lan，當(dāng)且僅當(dāng)na1=a2=L= 證明柯西不等式(229。(229。b2i).i=1i=1i=1證明 要證柯西不等式成立，只要證nnn 229。a2ibi163。b2i（1）i=1i=1i=1nn令 229。b2i=B2,（2）i=1i=1n式中A0,B0,則（1）即 229。ABi=1n229。1（3）a2b22211下面證不等式(3),有均值不等式，a1b1A2+B2A2B2163。A2+b1B2，2a22b22a22a2ABA2+b2nbna2同理163。A2+，得nn2n229。b2i(229。2+i=2i=1AB(4)中原工學(xué)院根據(jù)（2），（4）式即2AB(229。=1n因此不等式（3）成立，[1718]n例23 設(shè)ai206。i=11230。2ai179。229。．n232。2證明 由柯西不等式n230。230。230。230。2231。ai247。229。1247。231。ai247。229。=n229。i=1248。i=1248。i=1248。i=1248。ni=1163。ni=1．當(dāng)ai為正數(shù)時(shí)為均值不等式中的算術(shù)平均不大于平方平均． [19] 例24 設(shè)a,b為正常數(shù)，0xabp2，n206。 n+179。ansinxcosx232。247。2n2b246。n+2230。a22+證明 231。231。nnn232。232。2230。 179。n247。sinx248。b246。247。cosx248。179。ancosx232。+bn+2247。22[20] 例 25 證明不等式a+b+c(abc)3163。(x)=lnx+1,f162。(x)=1x中原工學(xué)院可見，f(x)=xlnx在xf(a+b+c3)163。13(alna+blnb+clnc)，即(a+b+c+cbc3)a+b163。a+b+c3,所以a+b+c(abc)3163。1比較法比較法是證明不等式的最基本方法，具體有“作差”比較和“作商”比較兩種。當(dāng)求證的不等式兩端是分項(xiàng)式（或分式）時(shí)，常用作差比較，當(dāng)求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數(shù)式時(shí)常用作商比較）例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab2分析：由題目觀察知用“作差”比較，然后提取公因式，結(jié)合a+b≥0來說明作差后的正或負(fù)，從而達(dá)到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負(fù)。例4，設(shè)a0，b0，a+b=1，證明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252證明：∵ a0，b0，a+b=1∴ab≤14或1ab≥4左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)22ab］+(a+b)22aba2b2=4+(12ab)+12aba2b2≥4+(112)+8=252練習(xí)3：已知a、b、c為正數(shù)，n是正整數(shù)，且f(n)=1gan+bn+3求證：2f（n）≤f（2n）4分析法從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個(gè)條件是可以證明或已經(jīng)證明的不等式時(shí)，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。要證cc2ab＜a＜c+c2ab只需證c2ab＜ac＜c2ab證明：即證 ｜ac｜＜c2ab即證(ac)2＜c2ab即證 a22ac＜ab∵a＞0，∴即要證 a2c＜b 即需證2+b＜2c，即為已知∴ 不等式成立練習(xí)4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）25放縮法放縮法是在證明不等式時(shí)，把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強(qiáng)常用技巧有：（1）舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)），（2）在和或積中換大（或換?。┠承╉?xiàng)，（3）擴(kuò)大（或縮?。┓质降姆肿樱ɑ蚍帜福┑?。證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa