【正文】 )已知a＞0，b＞0，且a+b=：(a+1a1b254)(b+)≥.●案例探究［例1］證明不等式1+12+13+L+1n2n(n∈N)*命題意圖：本題是一道考查數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明的綜合性題目，考查學(xué)生觀察能力、構(gòu)造能力以及邏輯分析能力，屬★★★★★：本題是一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題，首先想到應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，另外還涉及不等式證明中的放縮法、：此題易出現(xiàn)下列放縮錯誤：這樣只注重形式的統(tǒng)一，：本題證法一采用數(shù)學(xué)歸納法從n=k到n=k+1的過渡采用了放縮法；證法二先放縮，后裂項，有的放矢，直達目標(biāo)；而證法三運用函數(shù)思想，借助單調(diào)性，獨具匠心，：(1)當(dāng)n等于1時，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；(2)假設(shè)n=k(k≥1)時，不等式成立，即1+12131k+11k+112+13+L+1k＜2k，則1+++L+2k+=2k(k+1)+1k+1k+(k+1)+1k+1=2k+1,∴當(dāng)n=k+1時，(1)、(2)得：當(dāng)n∈N*時，都有1+12+13+L+1n＜+1時的證明還有下列證法：Q2(k+1)12k(k+1)=k2k(k+1)+(k+1)=(kk+1)0,2\2k(k+1)+12(k+1),Qk+10,\2k+1k+12k++1+k2k+1+k+1=1k+1，又如:Q2k+12k=本資料從網(wǎng)上收集整理\2k+1k+12k+：對任意k∈N*，都有：1k=2k+12+k132k++L+k11n=2(kk1)，2)+L+2(nn1)=+2+2(21)+2(312131n證法三：設(shè)f(n)=2n(1+*++L+)，那么對任意k∈N 都有：f(k+1)f(k)=2(k+1=1k+11k+1k)1k+1[2(k+1)2k(k+1)1](k+1k+1k)20=[(k+1)2k(k+1)+k]=∴f(k+1)＞f(k)因此，對任意n∈N 都有f(n)＞f(n－1)＞?＞f(1)=1＞0，∴1+12+13+L+1n+y(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值.*［例2］求使x+y≤a命題意圖：本題考查不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及學(xué)生邏輯分析能力，屬于★★★★★：該題實質(zhì)是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把a呈現(xiàn)出來，等價轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口，：本題解法三利用三角換元后確定a的取值范圍，此時我們習(xí)慣是將x、y與cosθ、sinθ來對應(yīng)進行換元，即令x=cosθ，y=sinθ(0＜θ＜p2)，這樣也得a≥sinθ+cosθ，：(1)縮小了x、y的范圍；(2)這樣換元相當(dāng)于本題又增加了“x、y=1”這樣一個條件，：除了解法一經(jīng)常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若參數(shù)a滿足不等關(guān)系，a≥f(x)，則amin=f(x)max；若 a≤f(x)，則amax=f(x)min，利用這一基本事實，：由于a的值為正數(shù)，將已知不等式兩邊平方，得：22x+y+2xy≤a(x+y)，即2xy≤(a－1)(x+y)，① ② ∴x，y＞0，∴x+y≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，②比較①、②得a的最小值滿足a－1=1，∴a2=2，a=2(因a＞0)，∴+x+yy(x+x+yy)22解法二：設(shè)u===x+y+2xyx+y=1+2xyx+y.∵x＞0，y＞0，∴x+y≥22xy2xyxy(當(dāng)x=y時“=”成立)，∴x+y≤1，x+，u的最大值為1+1=2，又由已知，得a≥u，∴：∵y＞0，∴原不等式可化為xy+1≤axy+1，設(shè)xy=tanθ，θ∈(0，p2).∴tanθ+1≤atan2q+1；即tanθ+1≤asecθ ∴a≥sinθ+cosθ=2sin(θ+又∵sin(θ+p4p4)，p4).③)的最大值為1(此時θ=由③式可知a的最小值為2.●錦囊妙計：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法.(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述；如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證.(2)綜合法是由因?qū)Ч治龇ㄊ菆?zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，互相滲透，互為前提，充分運用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，：換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、均值代換兩種，在應(yīng)用換元法時，放縮要有的放矢，從正面證如果不易說清楚，“至少”“惟一”或含有其他否定詞的命題，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各本資料從網(wǎng)上收集整理種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點.●殲滅難點訓(xùn)練一、填空題1.(★★★★★)已知x、y是正變數(shù)，a、b是正常數(shù)，且ax+by=1，x+.(★★★★)設(shè)正數(shù)a、b、c、d滿足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，.(★★★★)若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，則m、n、p、解答題4.(★★★★★)已知a，b，c為正實數(shù)，a+b+c=：(1)a2+b2+c2≥(2)3a+2+3b+2+3c+2≤6 5.(★★★★★)已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=6.(★★★★★)證明下列不等式：(1)若x，y，z∈R，a，b，c∈R，則(2)若x，y，z∈R，且x+y+z=xyz，則y+zx+z+xy+x+yz++12，證明：x，y，z∈［0，23］b+cax+2c+aby+2a+bcz≥2(xy+yz+zx)2≥2（1x+1y+1z)7.(★★★★★)已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n.(1)證明：niAim＜miAin；(2)證明：(1+m)n＞(1+n)m338.(★★★★★)若a＞0，b＞0，a+b=2，求證：a+b≤2，ab≤難點磁場證法一：(分析綜合法）欲證原式，即證4(ab)+4(a+b)－25ab+4≥0，即證4(ab)－33(ab)+8≥0，即證ab≤ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立 ∵1=a+b≥2ab，∴ab≤證法二：(均值代換法)設(shè)a=121422214或，從而得證.+t1，b=12+∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜本資料從網(wǎng)上收集整理\(a+(=121a)(b+21b)=(1a+1a22180。0ab4ab44ab4ab 1125\(a+)(b+)179。222。25236。162\1ab179。237。ab238。41=+16179。253。24sin2a254。(a+b)2－4ad＜(b+c)2－4bc ∵a+d=b+c，∴－4ad＜－4bc，故ad＞：ad＞bc：把p、q看成變量，則m＜p＜n，m＜q＜：m＜p＜q＜n二、4.(1)證法一：a2+b2+c2－===13131313=13(3a2+3b2+3c2－1)［3a2+3b2+3c2－(a+b+c)2］［3a2+3b2+3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc］ ［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］≥0 ∴a2+b2+c2≥222證法二：∵(a+b+c)=a+b+c+2ab+2ac+2bc≤a+b+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2 ∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=1 ∴a2+b2+c2≥a+b+c32222a+b+c3證法三：∵∴a2+b2+c2≥179。+z162。2(xy+yz+zx)22219。2(xy+yz+zx)+4(xyz+xyz+xyz)219。0∵上式顯然成立，∴：(1)對于1＜i≤m，且Aim =m236。叫做積分不等式性數(shù)學(xué)歸納法不等式的做題思路：n等于最小的滿足條件的值，說明一下這時候成立，一般我們寫顯然成立，無須證明假設(shè)n=k的時候成立，證明n=k+1的時候也是成立的，難度在這一步。當(dāng)n=1,12√n已知f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n(n屬于正整數(shù)),求證:當(dāng)n1時,f(2^n)n+2/2(1)n=2時代入成立(2)假設(shè)n=a時候成立則n=a+1時f(2^(a+1))=f(2^a)+1/(2^a+1)+1/(2^a+2)+1/(2^a+3)+……1/(2^(a+1))f(2^a)+1/(2^(a+1))+1/(2^(a+1))+1/(2^(a+1))+……1/(2^(a+1))后面相同項一共有2^a個所以上面又=f(2^a)+2^a/(2^(a+1))=f(2^a)+1/2因為f(2^a)(a+2)/2故上面大于/2因此n=a時上式成立的話n=a+1也成立1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2“1/2^2”指2的平方分之1證明：數(shù)學(xué)歸納法：∵當(dāng)n=2時有1/2^2=1/42∴符合原命題。)總結(jié)，結(jié)論成立，一般只要寫顯然成立。n=ab因為a＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0，且Δ=m2－4n≥0因為2=a3+b3=(a+b)(a2