不等式的證明word版-wenkub
2022-09-18 17:07:55 本頁(yè)面
【正文】 們已學(xué)過(guò)不等式證明的三種常用方法：比較法、綜合法、分析法，在證明不等式的性質(zhì)5時(shí)還用了反證法。當(dāng)4a + 1 = 4b + 1 = 4c +1，即a = b = c = 1/3時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)4a + 1 = 4b + 1 = 4c +1 = 7/3。（97高考）分析：（1）設(shè)F(x) = f(x)－x ∵xx2是方程f(x)－x = 0的兩個(gè)根∴F(x) = a(x－x1)(x－x2)當(dāng)x∈(0 , x1)時(shí)，由于x1 x2，得(x－x1)(x－x2) 0,又a 0 ∴F(x) = a(x－x1)(x－x2) 0 即x f(x)同樣地x1－f(x) = x1－[x + F(x)] = x1－x + a(x－x1)(x－x2) = (x1－x)[1 + a (x－x2)]∵0 x1 x2 1/a ∴x1－x 0, 1 + a (x－x2) = 1 + ax－ax2 1－ax2 0即x1－f(x) 0, ∴f(x) x1∴當(dāng)x∈(0 , x1)x f(x) x1 （2）依題意知x0 = －b/2a ∵xx2是方程f(x)－x = 0的兩個(gè)根 即xx2是方程ax2 + (b－1)x + c = 0的兩個(gè)根 ∴x1 + x2 = －(b－1)/a 則x0 = [a(x1 + x2)－1]/2a = (a x1 +ax2－1)/2a ∵ax2 1 ∴x0 x1/2教學(xué)后記：第四課時(shí) 不等式的證明學(xué)習(xí)目標(biāo) （1）系統(tǒng)地掌握不等式證明的常用方法（2）針對(duì)不同條件，靈活選用方法，培養(yǎng)發(fā)散思維能力教學(xué)過(guò)程 應(yīng)用舉例例1 已知a、b、c∈R，求證：a2 + b2 + c2 + 4≥ab + 3b + 2c證法一（比較法）：∵a2 + b2 + c2 + 4－(ab + 3b + 2c)＝a2 －ab + b2/4 + 3b2/4 － 3b + 3 + c2 － 2c + 1＝(a－b/2)2 + 3(b－2)2/4 + (c－1)2≥0 ∴a2 + b2 + c2 + 4≥ab + 3b + 2c證法二（綜合法）：∵a2 + b2/4≥ab 3b2/4 + 3 ≥3b c2 + 1≥ 2c∴a2 + b2 + c2 + 4≥ab + 3b + 2c小結(jié)：在不等式的證明中，常常要適當(dāng)?shù)貙⒈磉_(dá)式變形，靈活運(yùn)用基本不等式。設(shè)截面周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則周長(zhǎng)為L(zhǎng)的圓的半徑為L(zhǎng)/2π，截面積為π(L/2π)2；周長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形邊長(zhǎng)為L(zhǎng)/4,截面積為(L/4)2。即：從未知，看需知，逐步靠攏已知。但是有許多不等式的證明題，已知條件很隱蔽，運(yùn)用綜合法來(lái)證有一定的困難，例如：探索研究?。粢欢ǖ乃伎伎臻g，讓學(xué)生思考能否用比較法或綜合法來(lái)證明）師生共同分析，師板書(shū)要證 只要證：即證 3＋7＋2＜20 ＜5 21＜25因?yàn)?1＜5成立，所以點(diǎn)評(píng)：（1）證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題。 應(yīng)用舉例例1 已知a、b、c是均不相等的正數(shù)，求證： a(b2 + c2) + b(a2 + c2) + c(a2 + b2) 6abc證明：∵b2 + c2 ≥ 2bc 又a 0 ∴a(b2 + c2) ≥ 2abc ① 同理 b(a2 + c2) ≥ 2abc ② c(a2 + b2) ≥ 2abc ③只要將不等式的左邊適當(dāng)變形即為例1的左邊 ∵a、b、c是均不相等的正數(shù) ∴①②③三式不能同時(shí)取“＝” ∴ a(b2 + c2) + b(a2 + c2) + c(a2 + b2) 6abc變：（1）已知a、b、c是均不相等的正數(shù)，求證： a2(b + c) + b2(a + c) + c2(a + b) 6abc （2）已知a、b、c是均不相等的正數(shù)，求證： bc(b + c) + ac(a + c) +ab(a + b) 6abc（3）已知a、b、c都是正數(shù)，求證：2(a3 + b3 + c3) ≥a(b2 + c2) + b(a2 + c2) + c(a2 + b2)證明：先證 a3 + b3 ≥ a2b + ab2 ∵a3 + b3 － (a2b + ab2)＝(a3－a2b) + (b3－ab2)＝a2(a－b) + b2(b－a)＝(a2－b2)(a－b)＝(a + b)(a－b)2又a 0, b 0, 即a + b 0 , (a－b)2≥0 ∴a3 + b3 － (a2b + ab2)≥0， 即a3 + b3 ≥ a2b + ab2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立) 同理：b3 + c3 ≥ b2c + bc2(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)等號(hào)成立)c3 + a3 ≥ c2a + ca2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)等號(hào)成立)∴2(a3 + b3 + c3) ≥ a2b + ab2 + b2c + bc2 + c2a + ca2即2(a3 + b3 + c3) ≥ a(b2 + c2) + b(a2 + c2) + c(a2 + b2) 替換思想(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立)（4）已知a、b、c都是正數(shù)，求證：a3 + b3 + c3 ≥ 3abc (當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立)可當(dāng)定理使用小結(jié)：算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理 我們經(jīng)常利用它們來(lái)求函數(shù)的最值，但需要記牢定理的條件“一正二定三相等”。總結(jié)提煉數(shù)學(xué)思想：等價(jià)轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)方法：比較法—作差、作商 知識(shí)點(diǎn)：比較法：（1）依據(jù)：實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系（2）步驟：①作差法：作差→變形→判斷差值與0的大小關(guān)系②作商法：作商→變形→判斷商值與1的大小關(guān)系（各項(xiàng)為正）作業(yè)：P16 2思考題：在ΔABC中，記a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，S是三角形的面積，求證：提示：教學(xué)后記：第二課時(shí) 證明不等式的方法—綜合法學(xué)習(xí)目標(biāo) ?。?）了解綜合法的意義及綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系，能用綜合法證明不等式（2）培養(yǎng)學(xué)生利用綜合法進(jìn)行推理論證的能力教學(xué)過(guò)程 設(shè)置情境證明不等式： a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca （學(xué)生練習(xí)師巡視不同證法投影展示） 證一：∵a2 + b2 + c2 －( ab + bc + ca) = (a2 －2ab + b2 )/2 + (b2 － 2bc + c2)/2+ (c2 －2ca+ a2 )/2 = (a－b)2/2 + (b－c)2/2 + (c－a)2/2≥0∴a2 + b2 + c2
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