21-微分中值定理-全文預(yù)覽
【正文】 令 ( ) ( ) ,g x x f x?則 ()gx 也在 [ 0, )?? 上連續(xù)， 在 ( 0, )?? 內(nèi)可導(dǎo)． 設(shè) g(x) = 0 的正根為 x=a, 則 ( 0 ) ( ) 0 ,g g a??上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回首頁(yè) 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 12 ( ) 1 .fc ?設(shè)函數(shù) f (x) 在 [ 0, 3 ]上連續(xù) , 在 ( 0, 3 )內(nèi)可導(dǎo) , 且 ( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) 3 , ( 3 ) 1 ,f f f f+ + = =( 0 , 3 ) ,x 206。 ( ) 0 .f x162。ACa c f k?? ??存 在 ,使( ) ( ) = .CBc b f k??存 在 , , 使 ??設(shè) f (x) 在 [a, b] 上連續(xù) , (a, b) 內(nèi)二階可導(dǎo) , 連接 ( , ( ) ) , ( , ( ) )A a f a B b f b點(diǎn) 的直線(xiàn)交曲線(xiàn) y＝ f (x) 于點(diǎn) ( , ( ) ) ( ) ,C c f c a c b證明存在 ( , ) , ( ) = 0 .a b f?? ??? 使ca b xoy)(xfy?ABCD上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回首頁(yè) 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 35 ,A C C B A Bk k k??因 為 則( ) [ ] ( )fx ? ? ? ??而 函 數(shù) 在 區(qū) 間 , 上 連 續(xù) , 內(nèi) 可 導(dǎo) , ( , ) ,? ? ??由 羅 爾 定 理 知 存 在 使( ) ( ) .ff?????且( ) ( ) .ff?? ???( ) ??? ?上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回首頁(yè) 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 36 證 ,ab與 均 為 正 數(shù)10 ???? ba a( ) [ 0 , 1 ] ,fx又 在 上 連 續(xù)由介值定理 , ( ) ,af ab? ? ?使 得( 0 , 1 ) ,? ?存 在( ) [0 , ] , [ , 1 ] ,fx ??在 上 分 別 用 拉 氏 中 值 定 理 有( ) [ 0, 1 ] , ( 0, 1 ) ,( 0 ) 0, ( 1 ) 1 , :1,( 0,31 ) , .( ) ( )fxf f a bababff??????? ? ??? 設(shè) 在 上 連 續(xù) 在 內(nèi) 可 導(dǎo) 且試 證 對(duì) 任 意 給 定 的 正 數(shù)在 內(nèi) 存 在 不 同 的 使例上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回首頁(yè) 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 37 ),0(),()0()0()( ????? ????? fff)1,(),()1()()1( ????? ????? fff? ? ,1)1(,0)0( ?? ff注意到 由 ?, ?有 ))(())((1 bafbbafa?????? ??)(?fbaa???? ? )( )(11 ? ?? f f???? )(?f bab????+ ?,得 )()(???ff??.)()( baf bf a ?????? ??上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回首頁(yè) 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 38 如果函數(shù) f(x) 和 F(x) 在閉區(qū)間 [a, b]上 連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間 (a, b)內(nèi)可導(dǎo)，且 ( ) 0 ( ( , ) ) ,F x x a b? ??則在開(kāi)區(qū)間 (a, b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ,? 使得 ( ) ( ) ( ) .( ) ( ) ( )f f b f aF F b F a??? ??? ? () 三 、柯西中值定理 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回首頁(yè) 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 39 ( ) ( ) ( ) ( ) 0,( ) ( )f b f a FfF b F a ??? ?? ???()???分析 ( ) ( )F b F a? ( ) ( )F b a????ab???0,?要證 ( ) ( )( ) ( ) ( ) .( ) ( )f b f ax F x f xF b F a?????由拉格朗日中值定理可知， 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回首頁(yè) 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 40 證 改寫(xiě) ()式為 ? ?( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) 0 ,F b F a f f b f a F????? ? ? ?則只需證明方程 ? ?[ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) 0F b F a f x f b f a F x ?? ? ? ?有根． 令 ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ,g x F b F a f x f b f a F x? ? ? ?則 g(x)在閉區(qū)間 [a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間 (a,b) 上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回首頁(yè) 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 41 內(nèi)可導(dǎo)，且 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,g a g b f a F b F a f b? ? ?即 g(x)在區(qū)間 [a,b]上滿(mǎn)足羅爾定理的條件 . 因此， 在開(kāi)區(qū)間 (a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ,? 使得 ( ) 0,g ?? ?即 [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) 0 ,F b F a f f b f a F????? ? ? ?上一頁(yè) 下一頁(yè) 返回首頁(yè) 湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 42 又因?yàn)? ( ) 0,Fx? ?則 ( ) 0,F ?? ?且 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) .F b F a F b a a b???? ? ? ? ? ?則 ( ) ( ) ( ) .( ) ( ) ( )f f b f aF F b F a??? ??? ?
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