清華大學微積分高等數學課件第8講微分中值定理(編輯修改稿)
2025-02-12 06:37 本頁面
【文章內容簡介】 ,],[)(上恒為常數在則上恒為零在若bafbaxf ?推論 1： [證 ] 有由拉格朗日中值定理 ,0)()( 0 ??? xfxf之間與在 0xx?0)( ?? ?f已知常數??? )()( 0xfxf2022/2/13 26 )()()(],[),()(],[是常數其中有則有若CCxgxfbaxxgxfbax?????????推論 2： ).(],[),0)((0)(],[單調減少上單調增加在則有若bafxfxfbax??????推論 3： ).(],[),0)((0)(],[嚴格單調減上嚴格單調增在則有若bafxfxfbax??????推論 4： 2022/2/13 27 使得內至少存在一點則在且內可微在開區(qū)間上連續(xù)在閉區(qū)間滿足條件：設函數,),(.0)(,),()2(。],[)1()(),(?baxgbabaxgxf??)()()()()()()( bagfagbgafbf ??????? ???四、柯西 (Cauchy )定理 2022/2/13 28 .0)()( ?? agbg先證矛盾！這與假設條件使得存在一點由羅爾定理知0)(,0)(),(,?????xgcgbac用反證法)()(,0)()( agbgagbg ??? 即假設柯西中值定理的證明： 構造輔助函數 )]()([)()()()()()()( agxgagbgafbfafxfxF ??????即使得故存在滿足羅爾定理條件,0)(),(,)(?????FbaxF)()()()()()(??gfagbgafbf?????2022/2/13 29 輯關系：四個定理之間有如下邏費爾馬定理 羅爾定理 拉格朗日定理 柯西定理 2022/2/13 30 ?]1[ 根討論下列方程有幾個實例122 2 ??? xxx零點問題 圖形發(fā)現(xiàn)三個交點而且大體上能確定位置以下證明恰好有三個根 3 2 1 112342 4 6 8 10204060801001201222 ????xxyy x交點個數該方程實根個數 就是兩條曲線 2022/2/13 31 首先證明至少有三個根 計算表明 0)10(,02)1(,023)1(,043)2( ??????????? ffff根據介值定理 122)( 2 ???? xxxf x令)10,1(,)1,1(,)1,2()( 和在 ???xf各至少有一個零點因此方程至少有三個根 然后證明方程最多有三個根 用反證法 有四個相異實根0122)( 2 ????? xxxf x假定方程2022/2/13 32 至少有三個相異實根02222ln)( ??????? xxf x根據洛爾定理 至少有兩個相異實根022)2(l n)( 2 ??????? xxf至少有一個實根02)2(l n)( 3 ??????? xxf 矛盾！ 綜上所述，方程恰好有三個實根 35 2022/2/13 33 )0)(,0)(。0)(,0)(( ???????? bfafbfaf 或者直觀觀察可以啟發(fā)思路 )(),( bfaf在第一種情形 , 都不是最小值 0)()( ,],[)(]2[ ???? bfafbaxf 并且可導在設例0)( ),( ??? ?? fba 使得存在所以最小值一定在區(qū)間內部達到 ba)(af)(bfyxa b)(af)(bfyx2022/2/13 34 .0)(,0)( ???? bfaf不妨設. )( 0)( 不是區(qū)間上的最小值也又可以推出利用條件 bfbf ??. ),( 達到內部某個點于是最小值在 ?ba.0)(),(: ???? ?? fba由費爾馬定理推出可知即由 0)()(lim,0)( ??????? axafxfafax
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