高等數(shù)學(xué)微積分課件--85高階偏導(dǎo)數(shù)(編輯修改稿)
2025-02-04 13:30 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 求 U(x,y)=lnx+lny在條件 8x+10y=200下的極值點(diǎn)。 17 條件極值的求解思路 ? 條件極值問(wèn)題：求 z=f(x,y)在條件 ?(x,y)=0限制下的極值。 ? 求解思路：將條件 ?(x,y)=0代入目標(biāo)函數(shù) z=f(x,y)內(nèi) ,再對(duì)其求無(wú)條件極值（注意 ,此時(shí) z=f(x,y)內(nèi)的 y是 x的隱函數(shù)）： 0???????? xyxx yffzyxxy ???????即 0???????yxyx ff ?? 令 )0( ?????????yyyyff????代入 ,得 0????? xxf ??解決上述條件極值問(wèn)題 ,即為求滿足下列條件的 (x0,y0) ????????????????0),(0),(),(0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx?????可看作 z=f(x,y)+??(x,y)的 無(wú)條件極值點(diǎn) (x0,y0,?0) 18 拉格朗日乘數(shù)法 ? 拉格朗日函數(shù)：稱 F(x,y,?)=f(x,y)+ ??(x,y)為函數(shù) z=f(x,y)在條件 ?(x,y)=0限制下的條件極值問(wèn)題的 拉格朗日函數(shù) ,待定常數(shù) ?稱拉格朗日乘數(shù)。 ? 拉格朗日乘數(shù)法： 求條件極值問(wèn)題時(shí) ,先構(gòu)造其拉格朗日函數(shù) ,再求出其拉格朗日函數(shù)的無(wú)條件極值點(diǎn) ,其中除拉格朗日乘數(shù) ?以外的坐標(biāo)值就可能是條件極值點(diǎn)的坐標(biāo)值。 19 拉格朗日乘數(shù)法推廣示例 ? 拉格朗日乘數(shù)法可推廣到更多自變量以及更多條件限制的條件極值情形中。 ? 如：求函數(shù) u=f(x,y,z,t)在條件 ?(x,y,z,t)=0和?(x,y,z,t)=0下的條件極值。 可構(gòu)造拉格朗日函數(shù)： F(x,y,z,t,?,?)=f(x,y,z,t)+??(x,y,z,t)+??(x,y,z,t) 然后求 F(x,y,z,t,?,?)的無(wú)條件極值。 20 例題與講解 ? 例：將正數(shù) 12分成三個(gè)正數(shù) x、 y、 z之和 ,并使U=x3y2z最大。 ? 解： 令 )12(),( 23 ????? zyxzyxzyxF ? ,??????????????????????120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx???解得唯一駐點(diǎn) )2,4,6( ，.691 2246 23m ax ????u則 故最大值為21 例題與講解 ? 例：某廠生產(chǎn) A、 B兩產(chǎn)品 ,產(chǎn)量分別為 x和 y (單位 :千件 ),利潤(rùn)函數(shù)為 L=6xx2+16y4y22 (單位 :萬(wàn)元 )。已知生產(chǎn)這兩產(chǎn)品時(shí) ,每千件消耗某原料 2022公斤 ,現(xiàn)有該原料 12022公斤 ,問(wèn)兩產(chǎn)品各生產(chǎn)多少 ,總利潤(rùn)最大？ ? 解： 條件極值問(wèn)題 ??????????12 00020 0020 00..24166),( 22yxtsyyxxyxM ax L拉格朗日函數(shù) )6(24166),( 22 ???????? yxyyxxyxF ??令 ????????????????????060816026yxFyFxFyx??? 解得唯一駐點(diǎn)： , 00 ?? yx由實(shí)際意義可知 ,最大值為 ),( ?L答：當(dāng) A生產(chǎn) ,B生產(chǎn) ,利潤(rùn)最大 ,最大 利潤(rùn)為 。 22 小結(jié) ? 多元函數(shù)的極值 （取得極值的必要條件、充分條件） ? 多元函數(shù)的最值 ? 條件極值（拉格朗日乘數(shù)法） 23 課堂練習(xí) 1(條件極值 ) ? 例：某公司擬用甲、乙兩個(gè)廠生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品，若用 x代表甲廠的產(chǎn)量，用 y代表乙廠的產(chǎn)量，其總成本函數(shù)為 C=X2+3Y2XY ? 求該公司在生產(chǎn)總量為 30單位時(shí)使得總成本最低的產(chǎn)量？ ? 解：目標(biāo)函數(shù) C= X2+3Y2XY ? 約束條件 X+Y=30（即 X+Y30=0） 24 課堂練習(xí) 1(續(xù) ) 495)9,21(339210300602)30(3),(22???????????????????????????????????????CyxyxxLxyyLyxxLyxxyyxyxLL a g r a n g e?????函數(shù)25 課堂練習(xí) 2(條件極值 ) ? 設(shè)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量是勞動(dòng)力 x和原料 y的函數(shù)， ?
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