清華大學(xué)微積分高等數(shù)學(xué)課件第16講定積分一(編輯修改稿)
2025-02-12 06:25 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 性條件與可積函數(shù)類 .],[)(],[)(上有界在上可積，則在若baxfbaxf證明思路 ：反證法。假設(shè) f(x) 在 [a,b]上無(wú)界， 則至少在一個(gè)子區(qū)間上無(wú)界，所以黎曼 和式無(wú)界，與和式極限存在相矛盾 . 定積分作為黎曼和式的極限，其構(gòu)造十分復(fù)雜，因此想通過(guò)計(jì)算這個(gè)和式的極限來(lái)研究定積分，實(shí)際上是不可行的 . 另一途徑是先研究其存在性，得到有關(guān)可積性的理論。 2022/2/13 13 定理 3： .],[)(,],[)(上可積在則有限個(gè)間斷點(diǎn)上只有在若有界函數(shù)baxfbaxf.],[)(,],[)(上可積在則上單調(diào)在若函數(shù)baxfbaxf定理 4： 定理 2： .],[)(,],[)(上可積在則上連續(xù)在若函數(shù)baxfbaxf2022/2/13 14 四、定積分的基本性質(zhì) 定積分是一種極限，因此其性質(zhì)與極限 性質(zhì)密切相關(guān) 性質(zhì)一： 線性性質(zhì) 有則對(duì)任意常數(shù)若 ,],[, ??baRgf ???? ??? bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ ????性質(zhì)二： 關(guān)于區(qū)間的可加性 ??? ?? bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(并且有則若],[],[),(],[bcRfcaRfbacbaRf????2022/2/13 15 ??? ?? bababa duufdttfdxxf )()()([注意 1] 定積分的值只依賴于被積函數(shù)和積分的上、 下限，而與積分變量用什麼字母表示無(wú)關(guān)。即 [注意 2] 定積分的定義中，下限 a小于上限 b，否則， 做如下規(guī)定 : ?? ??? abba dxxfdxxfba )()(:, 規(guī)定時(shí)當(dāng)關(guān)于區(qū)間可加性的推廣 有則若 ],[,],[ babaRf ??? ?????? ?? ?????? dxxfdxxfdxxf )()()(2022/2/13 16 性質(zhì)三： 積分的不等式性質(zhì) 則有且若函數(shù)),()(],[],[)(],[)(xgxfbaxbaRxgbaRxf??????? ? baba dxxgdxxf )()(（證明：利用極限的保序性質(zhì)） 性質(zhì)四： 積分的保號(hào)性 則有且若函數(shù),0)(],[],[)(????xfbaxbaRxf0)( ?? badxxf2022/2/13 17 性質(zhì)五： 積分的不等式性質(zhì) 且則若函數(shù) ],[)(],[)( baRxfbaRxf ???? ? baba dxxfdxxf )()([注意 ] ],[)(],[)( baRxfbaRxf ?? 得不出由?????是無(wú)理數(shù)是有理數(shù)
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