微積分三大中值定理詳解(編輯修改稿)
2025-02-16 05:32 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ??? ? ?????于 是 ， 至 少 存 在 一 點 (0,1), 使 得即微積分（一） calculus 解 答 2( ) 2 3 , [ 1 , 3 ] ,()( ) 0 .??? ? ? ? ??f x x x xf x R o ll ef 設 驗 證是 否 滿 足 定 理 的 條 件 ？ 若 滿 足 ,求 出 定 理 中 使 的2( ) 2 3( ) [ 1 , 3 ] ( 1 , 3 )( 1 ) ( 3 ) 0., ( ) .( ) 2( 1 ) 0( 1 3 ) , 1( 1 , 3 ) 1 ( ) 0.f x x xfxfff x Roll eff? ? ? ???? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?Q 是 一 個 多 項 式在 上 連 續(xù) , 在 內(nèi) 可 導又因 此 滿 足 定 理 的 三 個 條 件 故 有得即 在 內(nèi) 存 在 一 點 ， 使 得微積分（一） calculus 解 答 .015 有且僅有一個正實根證明方程 ??? xx2）唯一性 ,1)( 5 ??? xxxf設,]1,0[)( 連續(xù)在則 xf .1)1(,1)0( ??? ff且 由零點定理 .0)(),1,0( 00 ??? xfx 使即為方程的正實根 . ,),1,0( 011 xxx ??設另有 .0)( 1 ?xf使01( ) , ,f x x xQ 在 之 間 滿 足 羅 爾 定 理 的 條 件使得之間在至少存在一個 ),( 10 xx?? .0)( ???f015)( 4 ???? xxf但 ))1,0(( ?x 矛盾 , .為唯一實根?1）存在性 注意： 在后面，本題還將用其他方法加以證明。 微積分（一） calculus 拉格朗日 (Lagrange) 定理 (LTh) 或 f b f a fba?? ???( ) ( ) ( ) ( 1 )],[ ba1) 在閉區(qū)間 上連續(xù) 。 2) 在開區(qū)間 ),( ba內(nèi)可導 。 至少有一點 ( ) ,ab?? ?? 使 得若函數(shù) )(xf滿足： a b o y A B x )( xfy ??C ?( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 )f b f a f b a????則在 ),( ba內(nèi) 定理 微積分（一） calculus 幾何意義： 在連續(xù)、光滑的曲線弧上，除端點外處處有不垂直于 x 軸的切線，則在曲線弧上至少存在一點 C，在該點處的切線與連接兩端點的弦平行 . a b o y A B x )( xfy ??C ?( ) ( )?f a f b當 時 ， 結 論 就 是 羅 爾 定 理 ,即 羅 爾 定 理 是 拉 格 朗 日 中 值 定注 ：理 的 特 例 .微積分（一） calculus 分析 要證 即證 即證 令 ( ) ( )( ) ( ) ( )? ?? ? ??f b f ax f x x aba只須證 ( ) 0 ,??? ?只須證 )(x?在 ],[ ba上滿足羅爾定理條件 . 微積分（一） calculus 證明 易見 )(x?在 ],[ ba上連續(xù)， 在 ),( ba內(nèi)可導， 且 即 根據(jù) 羅爾定理 知， ),( ba???使 ( ) 0 ,??? ?即 即 構造輔助函數(shù) 微積分（一） calculus 2) 定理結論肯定中間值 的客觀存在 ,但未指明確切位置 ,可通過求解導數(shù)方程確定。 (題型 1：驗證定理的正確性 ) ?1) 定理的條件組是充分條件。 . 注意 3)題型 2：找區(qū)間； 4)題型 3：找函數(shù)； 5)題型 4：證明等式； 6)題型 5：證明不等式 。 微積分（一） calculus 1) (1)或 (2)式對于 時也成立 . 拉格朗日中值公式 . 2) 若令 則 ,于是拉格朗日公式可寫成 : (3) 3) 若令 則得有限增量公式 : (4) 說明 （ 2） 注 式中的 可能不止一個 , 這并不影響它在理論上的應用 微積分（一） calculus ? 4） 是函數(shù)增量 的近似表達式 ? 是函數(shù)增量 的精確表達式 y?y?()f x x x?? ? ? ?()dy f x x???微積分（一） calculus ( ) [ , ]( , ) ( ) 0 , ( )[]1,f x a ba b f x f xab? ?如 果 函 數(shù) 在 閉 區(qū) 間 上 連 續(xù) ，且 在 開 區(qū) 間 內(nèi) 恒 有 則 在 閉區(qū) 間 上 恒推 論為 常 數(shù) .證明 不妨設 12,xx?在 ],[ 21 xx 上應用中值定理 , ),( 21 xx??? 使 0?所以 , , 由 21,xx的任意性知 , ()fx 恒 為 常 數(shù) .),(, 21 baxx ?? 對 微積分（一） calculus a r c s in a r c c o s .27 ???xx例 證 明 等 式 :( ) a r c sin a r c c o s( ) [ 1 1 ] ( 1 , 1 )( ) 0 。1 , [ 1 1 ] ( ) ,a r c sin a r c c o s .f x x xfxfxf x c cx x c????? ?????令 。顯 然 ， 在 ， 上 連 續(xù) , 在 內(nèi) 可 導 ,且由 推 論 知 在 ， 上 ( 為 常 數(shù) ）即 證 明0。2a r c sin a r c c os .2xcxx??
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