【微積分】反常積分(編輯修改稿)
2025-08-18 11:10 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ?????badxxf )(lim0存在，則稱此極限為函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ),[ ba 上的 反常 積分， 記作?badxxf )( ???????badxxf )(l i m0. 當(dāng)極限存在時(shí)，稱 反常 積分收斂；當(dāng)極限不存在時(shí)，稱 反常 積分發(fā)散 . ?ba dxxf )( ? ???? ?? ba dxxf )(l i m 0 )()0( aFbF ???設(shè)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上除點(diǎn) )( bcac ??外連續(xù)，而在點(diǎn) c 的鄰域內(nèi)無界 . 如果兩個(gè) 反常 積分 ?cadxxf )( 和 ?bcdxxf )( 都收斂，則稱 反常積分 ?badxxf )( 收斂 . 定 義 ?badxxf )( ?? cadxxf )( ?? bcdxxf )( ? ???? ?? ca dxxf )(lim 0 ? ?????? bc dxxf?? )(l i m 0否則，就稱 反常 積分 ? ba dxxf )( 發(fā)散 . 定義中 C為 瑕點(diǎn) ，以上積分稱為 瑕積分 . 例 5 計(jì)算反常積分 解 ).0(0 22??? axa dxa,1lim 220?????? xaax?ax ?? 為被積函數(shù)的無窮間斷點(diǎn) ， 故 為 瑕 點(diǎn) . ? ?a xa dx0 22 aax0a r c s i n ???????0a r c s i nlim0???? axax.2??例 6 證明 反常 積分 ?101dxx q當(dāng) 1?q 時(shí)收斂，當(dāng)1?q 時(shí)發(fā)散 . 證 ,1)1( ?q ?? 10 1 dxx ? ?10ln x? ,???,1)2( ?q ?10 1 dxx q1011 ?????????qx q???????????1,111,qqq因此當(dāng) 1?q 時(shí) 反常 積分收斂，其值為q?11；當(dāng) 1?q 時(shí) 反常 積分發(fā)散 .
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