【文章內容簡介】 對它進行計算呢 ？ 如果它不是一個數 ， 那它又是什么呢 ？ 費馬在推導求面積的公式時 ， 發(fā)現當 n 為無窮大時 ， 包含的 1/n 和 1/n2 項可以忽略不計 ?？ㄍ吡欣飳⑸厦嬗懻摰拿娣e看成無限多個他稱之為不可分量 （ 牛頓稱之為終結不可分量 ） 的總和 。 這個終結不可分量到底是什么 ？ 當時沒有人能將它說清楚 。 牛頓后來甚至重申他已經放棄了終結不可分量 ， 而卡瓦列里只是說 ， 把一塊面積分割為越來越小的小矩形時 ， 最終就會得到終結不可分量 ， 面積就是由這些終結不可分量組成的 。 終結不可分量后來發(fā)展為無窮小量。 用什么方法？我們以后再慢慢講。 它是積分學的問題。 這里的問題是，當把非均勻變化的問題看成均勻變化時，能表示為兩個量的積的形式，則此時處理非均勻變化問題，可以采用 …… ？？？ 牛頓與萊布尼茨 實際上在牛頓與萊布尼茨作出他們的沖刺之前 ， 微積分的大量知識已經積累起來了 。 甚至在巴羅的一本書里就能看到求切線的方法 、 兩個函數的積和商的微分定理 、 x 的冪的微分 、 求曲線的長度 、定積分中的變量代換 、 隱函數的微分定理等等 。 牛頓與萊布尼茨 于是人們驚問 ， 在主要的新結果方面 ， 還有什么有待于發(fā)現呢 ？ 問題的回答是 ， 方法的較大普遍性以及從特殊問題里已建立起來的東西中認識其普遍性 。 牛頓與萊布尼茨 數學的真正劃分不是分為幾何和算術 ， 而是分成普遍的和特殊的 。 這普遍的東西是由兩個包羅萬象的思想家 ， 牛頓和萊布尼茨提供的 。 1. 牛頓（ Newton） 數學和科學中的巨大進展 ， 幾乎總是建立在幾百年中作出一點一滴貢獻的許多人的工作之上的 。 需要有一個人來走那最高和最后的一步 ， 這個人要能足夠敏銳地從紛亂的猜測和說明中清理出前人的有價值的想法 ， 有足夠想象力地把這些碎片重新組織起來 ， 并且能足夠大膽地制定一個宏偉的計劃 。 在微積分中 ， 這個人就是牛頓 。 牛頓 （ 1642~1727年 ） ， 英國數學家 、物理學家 、 天文學家 、 自然哲學家 。 生于英格蘭 林肯郡伍爾索普 的一個小村莊里 。 他的母親在那里管理著丈夫遺留下來的農莊 ， 他父親是在他出生前兩個月去世的 。 少年時期 ， 牛頓在一個低標準的地方學校接受教育 ， 而且是一個除了對機械有興趣以外 ， 沒有特殊才華的青年人 。 1661年他進入了劍橋大學的三一學院 ， 安靜而沒有阻力地學習著自然哲學 。 1665年牛頓剛結束他的大學課程 ， 學校就因為倫敦地區(qū)鼠疫流行而關閉 。 他離開劍橋 ， 回到家鄉(xiāng) ， 在那里開始了他在機械 、 數學和光學上的偉大工作 ， 于 16651666年間做出流數術 、 萬有引力和光的分析三大發(fā)明 ， 年僅 23歲 。 1667年牛頓回到劍橋 ， 獲得碩士學位 ， 成為三一學院的研究員 。 1669年牛頓接替他的數學老師巴羅的職位 ， 擔任 盧卡斯數學教授 。 他不是一個成功的教師 ， 聽他課的學生很少 。 他提出的創(chuàng)造性的材料也沒有受到同事們的注意 ， 只有巴羅及天文學家哈雷認識到他的偉大 ， 并給他以鼓勵 。 牛頓涉獵的學科很多 ， 知識面很廣 。他從事過光學 、 天體力學 、 數學 、 化學 、 流體靜力學 、 流體動力學 、 物理學方面的研究工作 ， 還自己動手制作實驗裝置 ， 甚至自己制作了兩臺反射望遠鏡 （ 制作出做架子用的合金 、 澆鑄框架 、 做底座 、磨光鏡頭等 。 ） 他在數學上以創(chuàng)建微積分而著稱 ， 其流數法 （ 即物質的變化率 ） 始于 1665年 ， 系統(tǒng)敘述于 《 流數法和無窮級數 》 （ 1671年完成 ， 1736年出版 ） ， 首先發(fā)表在 《 自然哲學之數學原理 》 （ 1687） 中 。 其中借助運動學中描述的連續(xù)量及其變化率闡述他的流數理論 ， 并創(chuàng)用字母上加一點的符號表示流動變化率 （ 即導數符號 ） 。 討論的基本問題是：已知流量間的關系 ， 求它們的流數的關系以及逆運算 ， 確立了微分與積分這兩類運算的互逆關系 ， 即微積分基本定理 。 他用級數處理微分和積分 ， 已對級數的收斂和發(fā)散有所認識 。 他也研究微分方程 、 隱函數微分 、 曲線切線 、 曲線曲率 、曲線的拐點和曲線長度等 。 此外他還論述了有理指數的二項定理 （ 1664年 ）以及數論 、 解析幾何 、 曲線分類 、 變分法等中的有關問題 。 他在物理學上發(fā)現了萬有引力定律 （ 16661684年 ） ， 并據此指出行星運行成橢圓軌道的原因 。 1666年用三棱鏡實驗光的色散現象 ， 1668年發(fā)明并親手制作了第一架反射望遠鏡 。 他在哲學上深信物質 、 運動 、 空間和時間的客觀存在性 ， 堅持用觀察和實驗方法發(fā)現自然界的規(guī)律 ，力求用數學定量方法表述的定律說明自然現象 ， 其科學研究方法支配后世近 300年的物理學研究 。 晚年的牛頓變得消沉 ， 精神幾乎崩潰 。 他放棄研究工作 ， 于 1695年接受任命 ， 擔任大英造幣廠監(jiān)察 。 1705年 ， 封為爵士 ， 享年 85歲 。 牛頓對于他一生的成就 ， 一直是十分謙虛的 。 2. 萊布尼茨 （ Leibniz） 萊布尼茨 （ 1646~1716年 ） 是在建立微積分中唯一可以與牛頓并列的科學家 。 他研究法律 ， 在答辯了關于邏輯的論文后 ， 得到哲學學士學位 。 1666年以論文 《 論組合的藝術 》 獲得阿爾特道夫大學哲學博士學位 ， 同時獲得該校的教授席位 。 1671年 ， 他制造了他的計算機 。 1672年 3月作為梅因茲的選帝侯大使 ， 政治出差導巴黎 。 這次訪問使他同數學家和科學家有了接觸 ， 激起了他對數學的興趣 。 可以說 ， 在此之前 （ 1672年前 ） 萊布尼茨基本上不懂數學 。 1673年他到倫敦 ， 遇到另一些數學家和科學家 ， 促使他更加深入地鉆研數學 。 雖然萊布尼茨靠做外交官生活 ， 卷入各種政治活動 ， 但他的科學研究工作領域是廣泛的 ，