考研,沖刺,高等數(shù)學,微積分)(編輯修改稿)
2024-09-19 13:54 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 二） 例．設在上三階可導，且， 證明：存在，使得167。 導數(shù)的應用 一．不等式的證明 例1．求證：當時， 例2．設，證明 二．極值與拐點 例1．設的導數(shù)在處連續(xù)，又 則[ ] （A）是的極小值點 （B）是的極大值點 （C）是曲線的拐點 （D）不是的極值點，也不是曲線的拐點 例2．設有二階導數(shù)，滿足 求證：當時，為極小值。 三．最大值和最小值 1．有關(guān)旋轉(zhuǎn)體和面積的最值問題（第三章再討論） 2．實際應用題（略）第三章 一元函數(shù)積分學167。 積分的概念與計算 一．一般方法 例1．設的一個原函數(shù)，求。 例2．設，當時，又，求。 例3．設連續(xù)，且，求 二．遞推方法 例1．設 （1）求證當時， （2）求 例2．設 ， 求證 例3．設 ， 求證 三．廣義積分 例1．計算 例2．設 （1）求證（為正整數(shù)） （2）求 167。 有關(guān)變上（下）限積分和積分證明題 一．有關(guān)變上（下）限積分 例1．設在內(nèi)可導，對所有，均有，求 例2．設是正值的連續(xù)函數(shù)，，則曲線在上是凹的。 二．積分證明題 例1．設，在上連續(xù)，且，試證：存在，使 例2．設在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且， 求證 167。 定積分的應用 一．幾何方面 例1．設在上連續(xù)，在內(nèi)，證明，且唯一，使得，，所圍面積是，所圍面積的三倍。 例2．設在上為任一非負連續(xù)函數(shù)， （1）試證：，使 上以為高的矩形面積等于上以為曲邊的曲邊梯形面積 （2）又設在內(nèi)可導，且，證明（1）中唯一。 例3．設是由拋物線和直線，用所圍成的平面區(qū)域；是由拋物線和直線，所圍成的平面區(qū)域，其中。 （1）試求繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積；繞軸而成的旋轉(zhuǎn)體體積（如圖）。 （2）問當為何值時，取得最大值？試求此最大值。 二．物理和力學方面應用（略） 三．經(jīng)濟方面應用（略）第四章 常微分方程 一．規(guī)定類型的微分方程求解（略） 二．常用的處理技巧 1．變量替換 例1．解 例2．求微分方程的通解。 2．化為反函數(shù)的微分方程再求解 例1．求微分方程 例2．設函數(shù)在內(nèi)具有二階導數(shù)，且，是的反函數(shù)。 （1）試將所滿足的微分方程變換為滿足的微分方程； （2）求變換后的微分方程滿足初始條件，的解。 3．積分形式化為微分方程再求解 例．設，其中連續(xù)，求 4．線性方程解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu) 例．已知，是某二階線性非齊次常系數(shù)微分方程的三個解，求此微分方程及其通解。 三．微分方程在幾何問題方面的應用 例1．求通過的曲線方程，使曲線上任意點處切線與軸之交點與切點的距離等于此交點與原點的距離。 例2．設函數(shù)在上連續(xù)，若曲線，直線，與軸圍成平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋
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